文档介绍：一元二次方程根与系数的关系
张美丽
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式:
X=
(b2-4ac≥ 0)
一元二次方程的根与系数的关系:
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= , X1x2=
-
(韦达定理)
注:能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
韦达(1540-1603)
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号,并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师,后从事政治活动,当过议会的议员,在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究,第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”)。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
一元二次方程根与系数关系的证明:
X1+x2=
+
=
=
-
X1x2=
●
=
=
=
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ,X2,那么X1+X2= ,
X1X2=
-P
q
推论
1、 x2 - 2x - 1=0
2、 2x2 - 3x + =0
3、 2x2 - 6x =0
4、 3x2 = 4
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=
x1x2=0
x1x2= -
示例
典型题讲解:
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。
求:
(1) (2) x12+x22
解:
由题意可知x1+x2= - , x1 · x2=-3
(1)
=
=
=
(2)∵(x1+x2)2= x12+x22 +2x1x2
∴x12+x22 =(x1+x2)2 -2x1x2
=(- )2
-2×(-3)=6
典型题讲解:
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。
解:
设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程,得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程,得 k= - 2
由根与系数关系,得x1●2=3k
即 2 x1 =-6
∴ x1 =-3
答:方程的另一个根是-3 , k的值是-2。
典型题讲解:
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。
解二:
设方程的另一个根为x1.
由根与系数的关系,得
x1 +2= k+1
x1 ●2= 3k
解这方程组,得
x1 =-3
k =-2
答:方程的另一个根是-3 , k的值是-2。