文档介绍：第6章系统的稳定性
主讲张建华
本章主要内容:
1 稳定性的初步概念
2 Routh稳定判据
3 Nyquist稳定判据
4 Bode稳定判据
系统的稳定性
1系统不稳定现象的发生
1)定义:所谓系统不稳定现象是指系统发生振荡,振幅越来越大,直至无穷。
2)系统不稳定现象:(1)振荡发散。系统的振幅不断增加,直至无穷。(2) 系统正常运转时,突然刹车,停止运转
(3)正常运转的系统由于遇到干扰进入混沌状态。
3)不稳定现象的发生的原因:(1)与输入无关,仅仅取决于系统内部条件。(2)由于反馈环节的存在导致不稳定。(3)控制论中的稳定性通常指自由震荡下的稳定性。
2 判别稳定性的基本准则
1) 定义:若系统在初态的影响下系统的时间响应随时间衰减,并趋于零,则称系统是稳定的;否则是不稳定的。
2 )线性定常系统稳定条件:
条件1 若线性定常系统的传递函数为
但是在讨论系统稳定性时,通常假设零输入条件:Xi=0;
必须考虑与初始条件
有关的S多项式 M(s),研究零输入响应
特征方程
特征根:S=Si,i=1,2,3,……n
系统响应:
(5,)
式中
由()式可知,必须系统的所有特征根Si的实部均为负值,零输入响应x0(t)才能衰减为零,系统才能稳定。故系统稳定的必要条件是:
条件2。对线性系统在初态为零时,
输入,可得到输出——单位脉冲W(t) , 如果
则系统稳定。
3 系统稳定的充分必要条件:
系统的全部特征根具有负实部。
等价描述:即传递函数的全部极点位于S左半平面。
4 关于稳定性的一些提法
1) 李雅普诺夫意义下的稳定性 1882年李雅普诺夫指出
考虑线性与非线性系统,若点0为系统的平衡工作点,扰动使系统偏离此工作点的初始偏差不超过域η;而由扰动引起的输出及其终态不超过预先给定的某值,则称系统在李雅普诺夫意义稳定。
2) 渐进稳定性
由初始状态引起的响应最终衰减到零,称为渐进稳定性。
3) “小偏差”稳定性
(1)“小偏差”稳定性==“局部稳定性”
(2)“大范围内渐进稳定”
Routh-Hurwitz稳定性判据
根据系统稳定的充分必要条件,判断系统稳定与否,需解系统的全部特征根;但高次方程的求解十分困难,需另觅蹊径。
. Routh于1877年提出的方法。
1 系统稳定的必要条件:特征方程
要使全部特征根s1,s2,---Sn 均具有负实部,必须:
(1)特征方程的各项系数ai(i=0,1,2,--,n)都不为零。
(2)特征方程的各项系数ai的符号都相同。
上述条件等价于
()
()
2 系统稳定的充要条件:
(1) Routh 表
把特征方程()的系数排列成
Routh 表
(2 )Routh稳定判据:系统稳定的充分必要条件是 Routh数列表中第一列各元素符号均为正,并且其值不为零。若系统不稳定,第一列元素的符号必有改变;符号改变的次数=特征方程正实根的个数。
例6-1 P175—176
Routh稳定判据的简化形式:
(1)对于2阶系统,稳定的充分必要条件是
(2)对于3阶系统,稳定的充分必要条件是
()
()
例 6-2 P176
例6-3 P176—177
3 Routh判据的特殊情况
(1) Routh数列表中某行的第一个元素为零,将导致下一行的第一个元素无穷大。处理办法:用一个小正数ε代替第一列那个为零的元素,然后再计算其余各元素。
例4 P172
(2) Routh数列表中某行的所有元素均为零。处理办法:利用该行的上一行的元素构造一个辅助多项式,用这个多项式方程的导数的系数组成Routh数列表中的下一行,然后在计算Routh数列表中其余个元素。
迷信伟人,不如相信自己
例 6-2 P176
4 胡尔维茨稳定性判据
稳定性判据