文档介绍：-
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函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(*)的定义域任意一个*
都有f(－*)＝－f(*)，则函数f(*)_____．
解析：当*≥0时，f(*＋2)＝－，
∴f(*＋4)＝f(*)，即4是f(*)(*≥0)的一个周期．
∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－＝－1，
∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.
答案：0
[方法引航] (1)利用周期f(*＋T)＝f(*)将不在解析式围之的*通过周期变换转化到解析式围之，以方便代入解析式求值．
(2)判断函数周期性的几个常用结论．
①f(*＋a)＝－f(*)，则f(*)为周期函数，周期T＝2|a|.
②f(*＋a)＝(a≠0)，则函数f(*)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；
③f(*＋a)＝－，则函数f(*)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．
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1．假设将本例(2)中"f(*＋2)＝－〞变为"f(*＋2)＝－f(*)〞，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.
解析：由f(*＋2)＝－f(*)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.
答案：0
2．假设本例(2)条件变为f(*)对于*∈R，都有f(*＋2)＝f(*)且当*∈[0,2)时，f(*)＝log2(*＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．
解：由f(*＋2)＝f(*)，∴T＝2∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1，
∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.
考点三 函数奇偶性的综合应用
命题点
、单调性求解不等式
[例3] (1)假设函数f(*)＝是奇函数，则使f(*)＞3成立的*的取值围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：因为函数y＝f(*)为奇函数，所以f(－*)＝－f(*)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即＞0，故不等式可化为＜0，即1＜2*＜2，解得0＜*＜1，应选C.
答案：C
(2)函数f(*)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且＝.
①确定函数f(*)的解析式；
②用定义证明f(*)在(－1,1)上是增函数；
③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解：①∵在*∈(－1,1)上f(*)为奇函数，∴f(0)＝0，即b＝0，∴f(*)＝.
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又∵＝，∴＝.解得，a＝1.∴f(*)＝，经检验适合题意．
②证明：由f′(*)＝＝.*∈(－1,1)时，1－*2＞0，∴f′(*)＞0
∴f(*)在(－1,1)上为增函数．
③由f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)，即f(t－1)＜f(－t)．∴得0＜t＜.
(3)f(*)是R上的奇函数，当*≥0时，f(*)＝*3＋ln(1＋*)，则当*＜0时，f(*)＝( )
A．－*3－ln(1－*) B．*3＋ln(1－*)C．*3－ln(1－*) D．－*3＋ln(1－*)
解析：当*＜0时，－*＞0，
f(－*)＝(－*)3＋ln(1－*)，∵f(*)是R上的奇函数，∴当*＜0时，
f(*)＝－f(－*)＝－[(－*)3＋ln(1－*)]＝*3－ln(1－*)．
答案：C
[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f(－*)＝－f(*)或f(－*)＝f(*)在定义域恒成立，建立参数关系.
(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进展转化.
1．f(*)＝a*2＋b*是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b的值是________．
解析：a－1＋2a＝0，∴a＝.
f(*)＝a*2＋b*为偶函数，则b＝0，∴a＋b＝.
答案：
2．定义在R上的偶函数y＝f(*)在[0，＋∞)上递减，且＝0，则满足f(*)＜0的*的集合为( )
A.∪(2，＋∞) B.∪(1,2)
C.∪(2，＋∞) D.∪(2，＋∞)
解析：＝f＜0＝，又f(*)在[0，＋∞)上递减，所以＞，即
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*＞或*＜－，解得0＜*＜或*＞2，所以满