概率论课件 2.5.ppt

文档介绍：§ 随机变量 函数的分布
方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件
§
求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数
或分布律
问题 已知 随机变量 X 的概率密度
或分布律.
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§ 随机变量 函数的分布
方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件
§
求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数
或分布律
问题 已知 随机变量 X 的概率密度
或分布律.
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设 随机 变量X 的分布律为
由已知函数 g( x)可求出 随机变量 Y 的
所有可能取值，则 Y 的概率分布为
离散型 随机变量函数的分布
离散型
2
例1 已知 X 的概率分布为
X
pk
-1 0 1 2
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律
解
Y 1
pi
-3 -1 1 3
例1
3
Y 2
pi
1 0 1 4
Y 2
pi
0 1 4
4
例2 已知 X 的概率分布为
其中 p + q = 1, 0 < p < 1,
求 Y = Sin X 的概率分布
解
例2
5
6
故 Y 的概率分布为
Y
pi
-1 0 1
7
已知 X 的概率密度 f (x) 或分布函数
求 Y = g( X ) 的概率密度
方法：
（1） 从分布函数出发
（2）用公式直接求概率密度
连续型 随机变量函数的分布
连续性
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例3 已知 X 的 概率密度为
为常数，且 a  0, 求 fY ( y )
解
当a > 0 时，
例3
9
当a < 0 时，
故
10
例如 设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b, 则
Y ~ N ( a +b, a22 )
特别地 ，若 X ~ N (  , 2) ,
则
11
例4 X ~ E (2), Y =-3X + 2 , 求
解
例4
12
例5 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y)
解一 从分布函数出发
[
y
y
[
当 y < 0 时，FY (y) = 0
当 y > 0 时，
]
[
例5
13
故
14
例6 设
求 f Y (y)
x
y
(1 - y)3
解
例6
15
例7 设 X 的 概率密度为
求
的 概率密度
解
故当 y  0
或 y 1 时
y
•
f Y (y) = 0
x

1
0
y
•
由图可知, Y 的取
值范围为(0,1)
例7
16
y
•
arcsiny
 - arcsiny

1
x
0
当0  y < 1 时
故
17
注意 连续 随机变量的函数的分布
函数不一定是连续函数
例如 X ~ U (0,2)
令Y=g (X)
x
y
1
FY (y)不是连续函数
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