文档介绍：“最值问题”集锦
平面几何中的最值问题 01
几何的定值与最值 07
最短路线问题 14
对称问题 18
巧作“对称点”妙解最值题 22
数学最值题的常用解法 26
求最值问题 29
有理数的一题多解 34
DN CN 因为在△ ABC中，/A=90° , ADL BC于 D, 所以 /ABD= DAC /ADB= ADC=90 .
因为M, N分别是△ABDffi△ACD勺内心，所以
Z1=Z 2=45° , /3=/4,
所以 AADW ABDM
所以
DM _ BD DN = AB
又因为/ MDN=90 =/ADB所以
△ MDN^ ABDA
所以 /BADWMND
由于/ BAD= LCD 所以 / MND= LCD
所以D, C, L, N四点共圆，所以 /ALK之NDC=45 .
同理，/ AKL之1=45° ,所以AK=AL因为 4AK晔AADIM
所以
AK=AD=AL 而
S = - AB * AC * S = -AV) * AL = AD2
己幽： 2 。色然l '
而
从而
AD3
AC* AC
g =—AC■AB•
△Q 2 AB2+AC2
11 11
< 5AB ,AC，5 二百
所以S
△ ABC》Sa akl
5.
如图3 — ABC内（包括边上）有两点P, ：PQC AB 证设过P, Q的直线与AB, AC分别交于Pi, Q,连结PiC,显然，PQCRQ.
因为/AQPi+/ PiQC=180 ,
所以/ AQPi和/ PiQC中至少有一个直角或钝角.
若/AQPi>90° ,则 PQ WPiQWAPWAB;
若/ PiQC>900 ,则 PQ <PiQ<PiC.
同理，/ APiC和/ BPC中也至少有一个直角或钝角，不妨设/ BFiC> 90° , 贝U P iC< bc=ab
对于P, Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此， PQCAB.
.设AABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l ,顶点B, C到l的距离设为di,
d2,求di+4的最大值(1992年上海初中赛题).
BC相交，或者与B' .
(1)若l与BC相交于D,则
=AB连B' C,则过顶点A的直线l或者与
+S&ADC
屿
所以
18百 L
% N闻” 3招
只有当l，BC时，取等号.
(2)若l '与B' C相交于D',则
1
5(d] +%) • JJD ='阳」，&此rr
=s + s
a 也 MD，
所以
上式只有l '，B' C时， 综合⑴，⑵। 明+$的最大值为6区
.如图3-^ AOEfr,直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长 AQ BO分别与单位圆交于C, .
解设。O与AB相切于E,有OE=1从而
AB = OE・ AB=AO- OB
AO3 ■+ BO3 (AO - £0/
= 2 2
AB2
即 AE> 2.
当AO=B叫，
黑皿=乂C • BD = + OA)(l+BO；
U W
=1(1 + AO+BO+AO *B0)
(I + 2^AO * BO + AO * BO)
=+ Jao • bo) 3 = 十 Joe . ab.
2 2
4 w
■加+2拘.
所以，当AO=OB寸，四边形ABCtH积的最小值为
g 0 + 2 伪.
・几何的定值与最值
几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素 间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题 的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明.
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 （如线段长
度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：
.特殊位置与极端位置法；
.几何定理（公理）法；
.数形结合法等.
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中， 类问题具有很强的探索性（目标不明确），解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一 股相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.
【例题就解】
【例1】 如图，已知AB=1Q P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB 为边作等边△ APC^等边八BPD则CD长度的最小值为 思路点拨 如图，作CC，AB于C, DD，