文档介绍：关于线性方程组解题归纳
第1页，讲稿共45张，创作于星期二
题型一 线性方程组解的基本概念
、α2是下面方程组的两个不同的解向量，则a的取值如何？
第2页，讲稿共45张，创作于星期二
解： 因为α2，α3（n≥3）线性无关，讨论：当向量组aα2- α1，bα3-α2， aα1- bα3线性相关时，方程组
的解，
且当有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示其通解。
第15页，讲稿共45张，创作于星期二
解： （aα2- α1，bα3-α2， aα1- bα3）
=
因为α1，α2，α3线性无关，所以向量组
aα2- α1，bα3-α2， aα1- bα3线性相关的充要条件是
即b(a2-1)=0
所以b=0或a=±1
第16页，讲稿共45张，创作于星期二
方程组的增广矩阵（Ab）=
(1)当a=1，b ≠0时，方程组无解；
（2）当a=-1，b ≠0时，方程组唯一解；
（3）当b=0，a ≠1时，方程组唯一解；
（4）当a=1，b=0时，方程组有无穷多解。
第17页，讲稿共45张，创作于星期二
此时：
取x3为自由未知量
第18页，讲稿共45张，创作于星期二
题型4 线性方程组的公共解、同解问题
，求其非零公共解：将其联立，则联立方程组的所有非零解，即为所求。
第19页，讲稿共45张，创作于星期二
（Ⅰ）与（Ⅱ） ，求：
（1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系；
（2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。
第20页，讲稿共45张，创作于星期二
解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T，α2=（0，0，1，0）T；
同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1）T，α4=(-1,0,1,1)T
(2)将方程组Ⅰ和 Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：
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将其系数矩阵进行初等行变换
得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）T
于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为
X=k（-1，1，2，1）T,k取全体实数。
第22页，讲稿共45张，创作于星期二
情况2 . 仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。
第23页，讲稿共45张，创作于星期二
Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是α1=（1，2，5，7）T,α2=(3,-1,1,7)T，α3=（2，3，4，20）T，
Β1=（1，4，7，1）T，
β2=（1，-3，-4，2） T。
求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。
第24页，讲稿共45张，创作于星期二
解;显然方程组Ⅰ与Ⅱ的通解分别为k1α1+k2α2+k3α3与λ1β1+λ2β2，令其相等得到k1α1+k2α2+k3α3=λ1β1+λ2β2
即
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于是（k1,k2,k3,λ1，λ2）T=
t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T
即k1=-3t/14, k2=4t/7, k3=0 ,λ1=t/2,λ2=t
于是可得λ1，λ2的关系为λ1=t/2=λ2/2，将此关系式代入通解即为所求的公共解
为λ1β1+λ2β2 =（λ2/2) β1+λ2β2 = （λ2/2) (β1+2β2 )= （λ2/2) (3,-2 ,-1,5)T，=λ (3,-2 ,-1,5)T，其中λ = λ2/2为任意实数。
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情况3
已知一齐次方程组的通解及另一具体方程组，求其非零公共解：常将通解代入另一方程组，求出通解中任意常数满足的关系，即求出通解中独立的任意常数，再代回通解，即得所求的非零公共解。
简言之：已知的通解中满足另一具体方程组的非零解即为所求的非零公共解。
第27页，讲稿共45张，创作于星期二
(Ⅰ)为
又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为 k1(0,1,1,0)′+k2(-1,2,2,1)′.
(1) 求齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系;
(2) 问方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解;若没有，则说明理由.
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解：1）由 所以
以x2,x3为自由未知数可得基础解系
（2）令
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则可得：
即
所以有公共解
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