文档介绍：高中数学选修4-4,几何证明选讲相关知识点
相似三角形的判定及有关性质
知识点1:比例线段的有关定理
平行线等分线段定理:
推论1:
推论2:
平行线等分线段成比例定理:
推论:(1)
(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第三边.
知识点2:相似图形
1、相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
叫做相似比(或相似系数)
2、相似三角形的判定方法
预备定理:平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
定理的基本图形语言:
数学符号语言表述是:∴∽.
判定定理1:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,:两角对应相等,两三角形相似.
判定定理2:如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
判定定理3:如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,:三边对应成比例,两个三角形相似.
判定定理4:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS(ASA)
HL
相似三角形的判定
两边对应成比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法.
3、相似三角形的性质定理:
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于;
(2)相似三角形的周长比等于;
(3)相似三角形的面积比等于;
(4)相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
4、直角三角形的射影定理
从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影;一条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.
点和线段的正射影简称为射影
直角三角形的射影定理:
圆的章节知识点总结
一、轨迹
1、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);
2、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
3、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
4、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线;
二、垂径定理
弦:连接圆上任意两点之间的线段叫做弦.
垂径定理:
推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
推论2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
推论3:平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,