文档介绍：第三章
1、已知 A  (a ) 是 n 阶正定 Hermite 矩阵，在 n 维线性空间Cn 中向量
ij
  (x , x ,, x ),   (y , y ,, y ) 定义内 H H  H ，只要
iE U H 1 (E U H )  i(E U)(E U)1
 (E U H )(E U)  E U H (E U)
U H U U H U
故 H H  H
由 E iH  i(iE  H)  0 知 i 为 H 的特征值。由 Hermite 矩阵只能有实数特征值可得
E iH  0，即 E  iH 满秩。
U HU  (E  iH H )1(E iH H )(E  iH)(E iH)1  (E  iH)1(E iH)(E  iH)(E iH)1
 (E  iH)1(E  iH)(E iH)(E iH)1  E

9、若 S,T 分别是实对称和实反对称矩阵，且 det(E T iS)  0 ，试证：
(E T iS)(E T iS)1 是酉矩阵。
证明：
[(E T  iS)(E T iS)1]H (E T  iS)(E T iS)1  (E T  iS)1(E T iS)(E T  iS)(E T iS)1
 (E T iS)1(ET iS)(ET iS)(ET iS)1  E10、设 A,B均是实对称矩阵，试证：A与 B 正交相似的充要条件是 A与 B 的特征值相同。
证明：相似矩阵有相同的特征值。 A与 B 正交相似 A与 B 的特征值相同。
若 A与 B 的特征值相同，又 A, B 均是实对称矩阵。所以存在正交阵 Q，P 使
QT AQ    P T BP  (QP T )T A(QP T )  B 其中 QP T 为正交阵。
11、设 A,B 均是 Hermite 矩阵，试证： A与 B 酉相似的充要条件是 A与 B 的特征值相同。
证明：同上一题。
12、设 A, B 均是正规矩阵，试证：与 B 酉相似的充要条件是 A与 B 的特征值相同。
同上
E 0
13、设 A 是 Hermite 矩阵，且 A2  A ，则存在酉矩阵U ，使得U H AU   r 
 0 0