导数与微分学习课程.ppt

文档介绍：引言
从 15 世纪初文艺复兴时期起,
欧洲的工业、农
业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展,
形成
了一个新的经济时代.
而十六世纪的欧洲,
正处在
资本主义萌芽时期,
生产力得到了很大的发展.
生产
实践的发展对自然科学提出了新的课题,
力学、天文学等基础科学的发展,
而这些学科都是
深刻依赖于数学的,
因而也推动了数学的发展.
在各
类学科对数学提出的种种要求中,
下列三类问题导
迫切要求
引言
类学科对数学提出的种种要求中,
下列三类问题导
致了微分学的产生:
(1)
(2)
(3)
这三类实际问题的现实原型
谓函数的变化率问题.
牛顿从第一个问题出发,
尼茨从第二个问题出发,
为
莱布
完
在数学上都可归结
函数相对于自变量变化而变化的快慢程度,
即所
分别给出了导数的概念.
求变速运动的瞬时速度;
求曲线上一点处的切线;
求最大值和最小值.
瞬时速度
已知物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t)(s表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度.
如图设该物体在时刻t0的位置是s(t0)=OA0,在时刻t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δt 这段时间内,物体的位移是:
在时间段( t0+Dt)- t0 = Dt 内,物体的平均速度为:
平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也即需要通过瞬时速度来反映.
如果物体的运动规律是 s=s(t),那么物体在时刻t的瞬时速度v,就是物体在t到 t+Δt这段时间内,当Δt0 时的平均速度:
一、引例

设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)
以t0为起始时刻物体在t时间内的平均速度为
此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值t越小近似的程度就越好
因此当t0时极限
就是物体在t0时刻的瞬时速度.
自由落体运动的瞬时速度问题:
如图,
取极限得
P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
请看当
点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
求曲线y=f(x)在点M(x0 y0)处的切线的斜率
在曲线上另取一点N(x0+x y0+y)作割线MN
设其倾角为j 观察切线的形成

当x0时动点N将沿曲线趋向于定点M从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT
此时割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率
.
引例3. 产品总成本的变化率
设某产品的总成本
是产量
的函数,
即
当产量由
变到
时,
总成本相应的改变量为
故当产量由
变到
时,
总成本的平均变化率
为
当
时,
如果极限
存在,
则称此极限是产量
产品总成本的变化率
当产量由
变到
时,
总成本相应的改变量为
故当产量由
变到
时,
总成本的平均变化率
为
当
时,
如果极限
存在,
则称此极限是产量