文档介绍：第三节定积分的换元法和分部积分法
一定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]2)若f(x)是偶函数,则
证明
令x=t+l,则dx=dt,且当x=l时,t=0,当x=a+l时,t=a
因为f(t+l)=f(t)所以
x
y
x
y
x
y
例5 计算
分析 (1),(2)中积分区间关于原点对称,被积函数是奇函数,不用计算,就得到I1=0, I2=0(3)被积函数是偶函数,所以
由正弦函数的周期性可知
二定积分的分部积分法
定理2 设函数u(x),v(x)在区间[a,b]上都连续可微,则
证明:
移项就得到结果.
例5 计算
例6 计算
例7 计算
第一节定积分的概念与性质
内容提要
；
2. 定积分的几何意义;
。
教学要求
；
;
,会利用估值,比较大小。
1. 求曲边梯形的面积
一、定积分问题的两个实例
曲边梯形：
它有三条边是直线段，
其中两条边互相平行，
第三条边与前两条垂直叫做底边，
第四条边是一条曲线弧叫做曲边.
曲边梯形是一个矩形，
a
b
x
y
o
面积=底×高
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
而现在是一条曲线，
所以，不能用初等数学的方法解决.
曲线上的高度是变化的，
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积．
（四个小矩形）
（九个小矩形）
a
b
x
y
o
a
b
x
y
o
因此,我们用极限求曲边梯形面积.
具体步骤如下：
第一步分割
第二步求近似
得曲边梯形面积A的近似值为
第三步求和
第四步取极限
即
2. 求变速直线运动的路程
不能按此计算路程.
在很短的一段时间内，
因此，
在时间间隔很短的条件下，
可用匀速代替变速.
与求曲边梯形面积的方法一样，由如下四步求路程.
第一步分割
第三步求和
第四步取极限
个分点，
内任意插入
在区间
第二步求近似
上的路程
上某时刻的速度
二、定积分的概念
定义
作和
被积函数
被积表达式
积分变量
积分上限
积分下限
积分和
注意1.：
是一个确定的常数.
定积分号
(4)
注意2.
对定积分的补充规定:
定理1
定理3 闭区间上的有界单调函数可积.
定理2
第一类间断点,
注意3. 定积分的存在性
注意4. 初等函数在定义区间内部都是可积的.
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
a
b
x
y
o
a
b
x
y
o

的几何意义：
即
解
根据定积分的几何意义，
证明
由定积分定义, f(x)=A是常数,
积分和式
o
y
x
a
b
A
例3 利用定义计算定积分
解
例4 利用定义计算定积分
解
o
y
x
1
例5 利用定积分的几何意义求下列的定积分
(1)
(2)
(3)
(1)
解
(2)
(3)
(4)
(4)
证
性质1 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即
三、定积分的性质
性质2 两个函数和（差）的定积分等于各个函数定积分的和（差），即
证
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
由性质1,2可得定积分的线性性质，即
补充：不论 a, b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
例若
（定积分对于积分区间具有可加性）
则
性质3
a
b
x
y
o
c
假设
证首先，因为定积分存在，而定积分与分法无关，设c为一分点。于是[a, b]上的积分，可认为是[a, c],[c, b]上的积分之和，即
对上式两边取极限即得
证
性质4
o
y
x
a
b
如果在区间[a, b]上
则
性质5