文档介绍：第九章随机过程的基本概念
随机过程的基本概念
随机过程的有限维分布函数族
随机过程的数字特征
特殊的随机过程及性质
泊松过程和维纳过程
§ 基本概念
例1、1mol氧气注入密封的圆柱形容器中(中间插入网形
隔板),注入的起始时刻令t=0,问[0,1]中任一时
刻左边含有的氧分子数。
令X(t) 表示 t 时刻左边含有的氧分子数,则在每一个时刻 t,X(t)为随机变量。
称{X(t), t∈T=[0, 1]}为一随机过程,T 称为参数集。
例2、(随机游动)设质点在时刻 t=0 从原点出发沿 x 轴
按如下规则移动:每隔一个时间单位以概率 p 左
移一格,以概率 q=1-p 右移一格。若用X(n)表示时
刻 n 质点所处的位置,则{X(n), n=1,2,…}构成一
随机变量序列。
例3、(排队问题)顾客到银行办理个人业务,若窗口有人
接受服务,后来者需排队等待。若 X(t) 表示 t 时刻
银行等待服务的人数,则{X(t), t≥0}是一个随机过程。
例4、(股指波动)记录证券交易所的股指,用X(n)表示第 n
天上证综合指数的开盘指数,则{X(n), n=1,2,…}是一
随机(变量)序列。
实时记录证券交易所的股指,用 X(t) 表示一天中t时刻上证综合指数,则{X(t), t≥0}表示一随机过程。
例5、
令t在T中变动,得到依赖于t 的一族随机变量,则称为随机过程。
记为{X(t), t∈T},或 X(t), X(ω, t)
随机过程即为定义在同一个Ω上的无穷多个随机变量的集合族。
注:①T :参数集; t :参数(一般为时间,也可以是其它参数); Ω:样本空间。 故随机过程{X(t), t∈T}由t 和ω决定。
③参数 t 固定为 t0,则 X(ω,t0)为一随机变量,称为过 程在 t0 时刻的状态;故随 t 变化的随机变量的集合 族即为一随机过程。
固定t0∈T,I={X(ω0, t0) | 任意ω0 ∈Ω}称为状态空间(所有状态的集合);根据 X(ω, t0)离散(连续),I 称为离散(连续)状态空间。
②T 可以是离散、可列地取值,如 T={1,2,…},称为具有离散参数的随机过程(随机序列);
T 也可以是某一有限区间或无限区间,如T=[a,b],T=[0,+∞),称为具有连续参数的随机过程。
④固定ω0 ,{X(ω0 , t), t∈T}是 t 普通的函数,称为随机过
程对应于试验结果ω0 的一个样本函数(轨迹)。
所有的轨迹放在一起即为随机过程,这种定义在理论上比较有用;但在实际的认识中我们是在每个时刻t去认识随机过程,故用统计的方式处理。
§ 随机过程的有限维分布函数族
定义1:
定义2:
定义3:
随机过程X(t)的所有有限维分布函数的全体称为随机过程
的有限维分布函数族。记为
例1、设随机序列 Xn=Sn, (n=1,2,…),其中S是在[0,1]区间
上服从均匀分布的随机变量,求{Xn, n≥1}的一维分
布密度函数族。
所以{Xn, n≥1}的一维分布密度函数族为
例2、已知随机过程
求:
§ 随机过程的数字特征
定义1:
随机过程{X(t), t∈T},t 固定时X(t)即为随机变量,故概率论中求数字特征的方法,全部可以用来求随机过程中相应的数字特征(包括数字特征的性质)。