第5章矩阵分析的基础.ppt

文档介绍：第五章
矩阵分析基础
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§ 向量和矩阵的范数

定义1:设X  R n,X表示定义在Rn上的一个实值函数,
称之为X的范数,它具有下列性质:
(3)三角不等式:即对任意两个向量X、Y R n,恒有
(1) 非负性:即对一切X  R n,X  0, X>0
(2) 齐次性:即对任何实数a  R,X  R n,
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设X = (x1, x2,…, xn)T,则有
(1)
(2)
(3)
三个常用的范数:
范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数,若存在
常数 C1、C2 > 0 使得, 则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
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定理1:定义在Rn上的向量范数是变量X分量的
一致连续函数。
定理2:在Rn上定义的任一向量范数都与范数等价,
即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn,不等式
成立。
推论:Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
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对常用范数,容易验证下列不等式:
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定义2:设给定Rn中的向量序列{ },即
其中
若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有
则向量
称为向量序列{ }的极限,或者说向量序列{ }
依坐标收敛于向量,记为
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定理3:向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是
向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。

定义3:设A为n 阶方阵,Rn中已定义了向量范数,
则称为矩阵A 的算子范数或模,
记为。即
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矩阵范数的基本性质:
(1)当A = 0时, =0,当A  0时, > 0
(2)对任意实数k 和任意A,有
(3)对任意两个n阶矩阵A、B有
(5)对任意两个n阶矩阵A、B,有
(4)对任意向量XRn,和任意矩阵A,有
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例5:
设A=(aij)∈M. 定义
证明:这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
证明:设
从而
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定理4:设n 阶方阵A = (aij)nn,则
(Ⅰ)与相容的矩阵范数是
(Ⅱ)与相容的矩阵范数是
其中1为矩阵ATA的最大特征值。
(Ⅲ)与相容的矩阵范数是
上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。
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