高数导数课程(0002).ppt

文档介绍：本节要求读者深刻理解导数与微分的基本概念,学会运用法则熟练计算初等函数的导数与微分, 并了解导数与微分在有关变化率实际问题中的初步应用.
1 . 3 导数与微分
微积分
重难点为导数与微分的链锁法则.
——割线的极限位置
要定义切线, 需应用极限的思想.
P
Q
导数概念
1. 曲线的切线
圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线. 但一般曲线的切线是不能这样定义的(如下图, 曲线的切线与曲线交于另一点Q).
切线的定义
如果割线 PQ绕点 P 旋转而趋向极限位置PT, 直线PT就称为曲线 C在点 P处的切线.
为建立给定点切线PT的方程,只需确定切线斜率。由于PT是PQ的极限,从而PT斜率即PQ斜率的极限.
下面来确定PT的斜率:

如图,
取极限得到
与切线斜率形式类似的极限:差比的极限!
以自由落体运动的瞬时速度问题为例
3. 导数的定义
定义
其它形式
因
导数定义的其他形式
此时,曲线y=f (x)在点(x0 ,f (x0)的切线方程是
注
(1)
过去称之为增量,因为英文版教材中为increment.
(2)从定义可知,若y=f (x)在x0可导,必有
否则当Δx→0时,比值不能趋于一个常数。
即若y=f (x)在x0可导, 必为型的极限。
由定义求导数
例
解
步骤:
解
更一般地
例如,
这两个幂函数的导数最常用应该单独记!
例