文档介绍：从椭圆的光学性质产生的联想
上海交大附中 倪桓华
名师基地交流课,2020年3月12日上午第5节，10届(3)班，理科实验楼514
教学目的：
1、通过对椭圆光学性质和几何证明的阅读理解,（1）激发对圆锥曲线的兴趣;（2）获得对椭反射光线过焦点F2。（精品文档请下载）
2、对椭圆切线的认识
从方程角度:和椭圆方程联立,得到的一元二次方程的判别式等于零.
从几何角度：和椭圆只有一个公共点，即切点（设为P）。
切线的几何特征：（1）切线上除切点外的点,到椭圆两个焦点的间隔 之和大于2a,即2a是切线上的点到椭圆两个焦点的间隔 之和的最小值;(2）和ÐF1PF2的平分线垂直，即ÐF1PF2的外角平分线;(3）F1关于切线的对称点R在F2P的延长线上，且F2R=2a。（精品文档请下载）
以上特征反之亦然，证略。
3、基于对椭圆切线的认识,能否得到过椭圆上一点P的切线作法?
连结F2P并延长至R，使PR=PF1，连结RF1，作RF1的中垂线，即为过P点的椭圆切线。
4、考虑一个更为有趣的问题，椭圆的两个焦点和长轴长2a，如何作出椭圆？
启发:点P是线段F1R的中垂线和线段F2R的交点
作法：以F2为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点K，作F1K的中垂线，和直线F2K交于点T，那么由椭圆定义，T为椭圆上的点，当K在圆上运动时,得到T的轨迹——椭圆。（精品文档请下载）
5、类比联想：
(1—1）猜测并证明双曲线的光学性质:
光学性质:从双曲线一个焦点射出的光线，经双曲线反射，其反射光线的延长线过双曲线的另一个焦点。
证明：如图4，直线MN为双曲线的切线， P为切点，F1P为入射光线
作F1关于切线MN的对称点R，只需证F2、R、P三点共线。
反证法：假设F2、R、P三点不共线，设F2R的连线交切线MN于点Q.
那么RF2 = QF2 -RQ=QF2+ QF1 〈2a
M
N
又RF2 > PF2 - RP =PF2+ PF1 =2a,产生矛盾,所以F2、R、P三点共线，即反射光线过焦点
F2. （精品文档请下载）
（1-2)对双曲线的切线的认识
从方程角度：和双曲线方程联立,得到的一元二次方程的判别式等于零。
从几何角度：和双曲线只有一个公共点，即切点（设为P）。
切线的几何特征：（1）切线上除切点外的点，到双曲线两个焦点的间隔 之差的绝对值小于2a，即2a是切线上的点到双曲线两个焦点的间隔 之差的绝对值的最大值；（2）是ÐF1PF2的平分线;（3）F1关于切线的对称点R在F2P上，且F2R=2a。（精品文档请下载）
以上特征反之亦然，证略.
（1-3）过双曲线上一点P的切线作法？
连结F2P，在F2P上取点R，使PR=PF1，连结RF2，作RF1的中垂线，即为过P点的双曲线切线。
（1-4）双曲线的两个焦点和实轴长2a，如何作出双曲线？
图2
作法:以F2为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点K，作F1K的中垂线，和直线F2K交于点T,那么由双曲线定义，
T为双曲线上的点,当K在圆上运动时，得到T的轨迹——双曲线。（精品文档请下载）
（2)抛物线的光学性质的几何证法：
光学性质:从抛物线焦点射出的光线，经抛物线反射，其反射光线平行于抛物线的对称轴。
证法一：