文档介绍：高斯公式与斯托克斯公式
例1
计算
其中 S 是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六个平面所
围的正立方体表面并取外侧为正向.
解
例
计算
所围的空间区域的表面，方向取外侧.
解高斯公式与斯托克斯公式
例1
计算
其中 S 是由 x = y = z = 0, x = y = z = a 六个平面所
围的正立方体表面并取外侧为正向.
解
例
计算
所围的空间区域的表面，方向取外侧.
解
其中 S 为锥面
与平面
设 S1 为上半球体的底面，
例
计算
的外侧.
解
其中 S 是上半球面
取下侧.
于是
斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面积分与沿 S
的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系.
对曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定：
设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，
指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线
L 的正向.
二、斯托克斯公式
这个规定方法也称为右手法则.
设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑曲线,
同 L ）上具有连续一阶偏导数，则有
S 的侧与 L 的正向符合右手法则,
在 S （连
注意:
则斯托克斯公式就是格林公式,
故格林公式是斯托克斯公式的特例.
如果 S 是 xoy 坐标平面上的一块平面区域,
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
或用第一类曲面积分表示:
证:
情形1 与平行 z 轴的直线只交于
一点,
设其方程为
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
则
(利用格林公式)
因此
同理可证
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,
则可
通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,
在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,
由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,
所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立.
证毕
例2. 利用斯托克斯公式计算积分
其中 L 为平面 x+ y+ z = 1 与各坐标面的交线，
解
取逆时针方向为正向如图所示.
记三角形ABC为 S , 取上侧, 则
例. 利用斯托克斯公式计算积分
其中 L 为 y2+ z2 = 1 , x = y 所交的椭圆正向.
解
记以 L 为边界的椭圆面为 S , 其方向按右手法则
确定，于是有
例. 为柱面
与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针, 计算
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,
且取下侧,
利用斯托克斯公式得
则其法线方向余弦
空间曲线积分与路径无关的条件
设 Ω 是空间单连通区域, 函数 P, Q, R
在Ω上具有连续一阶偏导数,
则下列四个条件相互等价:
(1) 对Ω 内任一按段光滑闭曲线 L, 有
(2) 对Ω 内任一按段光滑曲线 L,
与路径无关
(4) 在Ω 内处处有
(3) 在Ω 内存在某一函数 u, 使
与路径无关, 并求函数
解: 令
积分与路径无关,
因此
例3. 验证曲线积分
内容小结
1. 高斯公式
2. 斯托克斯公式
例
计算
其中 S 为球面在第一卦限部分
例 设 S 与上例相同，取球面外侧，
分别计算下列积分
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