文档介绍：空间向量与立体几何知识点归纳总结
.空间向量的 概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：(1)向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
(2)向量具有平移不变性
.空间向量的运算。
a — b;i, z zi)一 ( x2
x, y2 y, Z2 z),
显然，当P
为AB中点时,
④ ABC 中)A (xi , yi, zi) , B ( x 2 , y2 , z ), C ( x3 , y3 , z ) , 三角形重心 P 坐标为
+ + * +
V^^^z^ )
⑤△ ABC的五心:
1 口
.=AB AC
内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。 AP (——q * j—) (单位向量)
AB AC
下 一 . .
外心P:外接圆的圆心，中垂线的交点。 PA= PB = PC
- ― ■- M ™
垂心P:高的交点：PA PB=PA ,PC二PBPC (移项，内积为 0,则垂直)
1
重心P：中线的父点)二等分点(中位线比) AP =-( AB -* AC )
3
中心：正三角形的所有心的合一。
(4)模长公式：若 a ( ai , a2 , a 3 ))b =(» , b2, b3))
；-2 2 2 2 2 2
贝U | a | 一 ' a a - ' ai a 2 a 3 ) | b「 b b 一 ■ bi b2 b3
■ js o
a b ai bi a 2 b2 a 3b3
(5)夹角公式：cos \a 'b
一 2
■ 2 2 2 ' 2 2
| a | | b | ai a2 a3 . bi b2 b3
ABC中①AB，AC >0 <=>A为锐角 ②AB，AC V 0 <=>A为钝角)钝角
(6)两点间的距离公式：若 A( Xi , yi , zi ),B ( X2 , y2 , Z2)
则 | AB |
zi ) 2
222
或 d A ,B - --( X2 Xi ) , ( y2 yi )( z2 zi )
。
(i)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 a , b ,在空间任取一点o ，作
O A、, O B b=,则 Ha o b叫做向量£与b的夹角，记作v a , b;>且规定
0 W< a , a , b >=< b , a > ；若式a二b 2 *,则称石与b互相垂直,记作：a £ b。
2
(2)向量的模：设O A二]，则有向线段O A的长度叫做向量a的长度或模， 记作：| aj。 [tart.
(3)向量的数量积：P知向量一 a： b ,则| a | 1| b | cos W , b叫做a ,「而数量积，记 d — —
作 a b , 即 a 'b = | a | | b | cos W , b >。
(4)空间向量数量积的性质：
① a e = | a | cos a , e ?②a 'b^ ab = 0。③ | a | 2 - a a。
(5)空间回量数量积运算律： _ . 一
①(，a ) b =々 a b ) = a ( b )。② a b = b a (交换律)。 J
③ a ( b c ) a b a ' c + (分配律)。
9 — M — y y
④不满足 乘法结合率：(a b)c a a( b c)
.线线平行 =两线的方向向量平行
1-1线面平行；二线的方向向量与面的法向量垂直
1-2面面平行匕两面的法向量平行
2线线垂直（共面与异面） w两线的方向向量垂直
2-1线面垂直二线与面的法向量平行
2-2面面垂直 =两面的法向量垂直
3线线夹角 （共面与异面） ［0 ,90。］两线的方向向量 n 1 , n 的夹角或夹角的补角，
；二： f 2
cos G = cos < n1, n 2 >
3-1线面夹角S0 。,90。］：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP与面的法向量n"的
夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹
角,sinC0s=卜「，* >
3-2面面夹角（二面角）向0 o ,180。］:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向
量n1 , n 2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
-J r
cos「-一 cos n1 , n 2
4 .点面距离h ：求点P （x。, y。）到平面仪 的距离： 在平面 上去一点Q x , y ,得向量：Q ；
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I » ;^ ;
PQ 淮 n
计算平面a的法向量n ;.h=~E—1