文档介绍：空间曲线积分与曲面积分的计算方法
空间曲线积分与曲面积分是《数学分析》中的重要内容之一，但由于它计算的复杂性及灵活多
变性，使我们在学****时感到很难掌握，缺乏必要而行之有效的方法，因此，本文将给出空间曲线积
分与曲面积分的一些典型计算方.
（ Gauss公式）
1 P290
设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面
P,Q, R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则
其中S取外侧.
R dxdydz z
o Pdydz Qdzdx Rdxdy,
S
（ Stokes公式）
1 P292
设光滑曲面
S的边界
L是按段光滑的连续曲线， 若函数P、Q、
R在S连同L上连续，且有一阶连续偏导数，则
yW dydz二3dzdx s y z z x
P
—dxdy ,; Pdx
Qdy Rdz,
其中S的侧与L的方向按右手法则确定.
定理 （ Stokes公式）2 P992 （1）设 S 是 R3
中的分片光滑曲面,
(2)设S的边界是有限
条封闭光滑曲线
L, (3)设函数P、Q、R是在曲面S及其附近有定义，在
S直到L上有连续的偏
导数，则
Pdx Qdy Rdz
cos
cos
cos
S
x
y
z
P
Q
R
dydz
dzdx
dxdy
s
x
y
z
P
Q
R
dS
其中S与L呈右手关系(即站在S的法线上看,
L为逆时针方向)，cos
的法线方向余弦.
3空间曲线积分的计算方法
对称方法是数学中的一种重要方法，在曲线积分的计算
(证明)
中注意到被积式与积分区域的
对称性，运用对称性质计算，能够起到化繁为简的作用.
例1设L为对称于坐标轴的光滑闭曲线，证明
y . 3
e dx xy
y
xe 2y dy 0 .
证明设L为正向闭曲线，其包围的区域为
D,
由Green公式得
\ x3y ey dx xy3 xey 2y dy =
3 3
x dxdy = y dxdy
x3dxdy
因为L是对称于坐标轴的光滑曲线，所以区域 y3是变量y的奇函数,
从而 y3dxdy 0,同理 x3dxdy 0,所以 y3dxdy x3dxdy 0.
D D D D
3 y 3 y
故。l x y e dx xy xe 2ydy 0 .
除了上述对称性之外，还可利用轮换对称性.
例2计算积分Lx2ds,其中L为x2 y2 z2 a2与x y z 0的交线.
积分曲线
L关于x, y,z有轮换对称性，因此
Lx2ds
Ly2ds
Lz2ds
2 2
y z ds
1 a2ds
3 L
2
a ds
3 L
2 a —2
3
根据积分路径或被积函数的特点选用适当的参数表示，化第二型曲线积分为定积分，有时多采 用极坐标，或广义极坐标.
例3计算L x2
z2 ds,
其中L是球面x2 y2
9 一小
一与平面x
2
1的交线.
9
2,
将L的两个方程式联立,
/曰1 1
得一x
2 2
1 2 4y
1.
..2 cos
，y
2 sin ，代入可知
1 -
x 2 cos , y
2
从而L的参数方程为
八. 1
2 sin , z 2 cos
2
ds
1— 2
2 sin
2
2 cos
一 2 sin
2d
2 2 ,
y z ds
所以
2 9
18
—2d
0 2
2 P925
计算曲线积分 l ydx zdy
2 x
-2 a
2 y
x
1,- a
z
一 1, x 0, y 0, z 0 c
(1)
(a 0,b 0,c
0为常数）从点（a,0,0）到（0,0,c）.
解方法
如图1所示（利用坐标面上的投影椭圆）在式（1）中消去z ,得
2 a x — 2
2- a
2
2
J— 1
2 ।
b
3
这是xy平面上,
-,0为中心, 2
,凡为半轴的椭圆, .,2
从而可改写成参数方程
a a
x cos
2 2
b .
-^si