文档介绍：第十二章 用能量法计算弹性位移<br****题
12-1两根杆拉伸刚度均为EA,长度相同，承受荷载如图所示，分布荷载 集度q=F/l，试求这两根杆的应变能，并作比较。<br****题12一2图
j i( qx) i
0
解：Vi= 2EaM
济dX2
+ 8 ql)x2
av 12m aM aF V 2 ei aF
卜(2 + ] qi)x x d { _J 2 2 E8,——---2 dx +J 2-
0 Ei 2 1 0
F 1 F 3
(~2 + 8 q1) ] 1 ( ~2 + 8 q1) ] 1
2 EI 3( 2 丿 2 EI 3( 2 丿
2x
EI •飞 dX 2
令F=0，则/
CV
_ aV | _ 5q14 _ aFIf_0 _ 768EI
12 7用卡氏定理求图示梁C截面的转角和挠度。EI为常数。<br****题12 7图
解：(1)求C截面的转角。在C截面处加一顺时针力偶M,求出支座反力:
F _ 3ql— M-,f _ 牛 + 9ql,
RA 8 1 RB 1 8
以A为原点，，AB段的弯矩方程为：M — (3ql - M)x - — qx2
1 8 l 1 2 1
以C为原点，x2以向左为正，BC段的弯矩方程为：M _-M - ] qx2
2 2 2
梁的变形能为：v _|1 ^Mldx.+f 2 2Eldx2
av , 2M dM 12M
dM = Jo 2EI aMdxi +J02 2EI
3ql M 1
8 - l )xi-2 qx2
EI
6M ,
IM2 dx 2
l(
=Jl-
0
(3ql M
(8
EIl
• (- + 丿dx+J 2 上扛• (-1 )dx
l 1 0 EI 2
l "x 1 X 13 + J X 114
3 2 EIl 4
+ M 丄亠 X 1 X (1)3
EI 2 2EI 3 ' 27
=ql 4 M=0 8EI
令 M=0，则（P（ = "IM"
（2）求C点的挠度。在C点处加一向下的力F,求出支座反力:
F = 2 ql-与,F = ql + 与,
RA 2 2 RB 2
以A为原点，，AB段的弯矩方程为：M =（舟ql - F）x - qx2
1 1 8 2 1 2
以C为原点，x2以向左为正，BC段的弯矩方程为：M =- Fx -1 qx 2
2 2 2 2 2
x2
梁的变形能为：V =f1
°2EX+{
'l M 2
02 2Eldx 2
6M , 济dX2
3V 12 M dM ,
护= Jo2E- •常哎
3ql F 1
(8 - 2 )x - 2 qx 2 x
=J0 8 2eiX 2 1 •(-手"+ J
(翌-F) =(8 2 7
2 EI
X 3 X13 + 4 El x 414 +
令 F =0 ，则
=ql 4 f=0 = 128EI
12-8
'J - FX 2
0
F
EI
qx2)
E— - ( - X2 )dX2
1 X ( l )3 + q X 1 X ( l )4 3( 2 丿 2 EI 4( 2 丿
A =^V
cv dF
用卡氏定理求图示刚架 A 点的水平位移和 B 截面的转角。<br****题12-8图
解：（1）求A点的水平位移。求出支座反力:
F =£ ql + F,H = F
RB 2 D
以 A 为原点， x1 以向左为正， AC 段的弯矩方程为（以内侧受拉为正） M1 _（-ql + F）x1一 -qx2
以D为原点，x2以向上为正，CD段的弯矩方程为（以内侧受拉为正）：M二Fx
22
梁的变形能为：V
/ _7
ah dF
：+ F）x -
_J1 2
0
_” 4Eldx
6M ,
• n dx
dF i
2 M
4 E/
1
2 qx2 一 • x dx
_Il
0
+Jl MIdx
1 O 2 EI 2
l 2 M dM
+ Il - • 2 dx
0 2 EI dF 2
2 EI 1 1
l Fx
+ J0育
（爭 +F）1 q 1 F
_ 2 EI x 3 x 13 - 4EIx 414 + EI
（2）求B截面的转角。在B截面处加一逆时针的力偶M,求出支座反力:
Fl 3 ql4
3 2EI+ 48EI
F