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蒙特卡洛方法
第六讲
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计算机模拟方法分类
1 蒙特卡洛 Monte Ca知的,必须使用其估计值
来代替,在计算所求量的同时,可计算出 ，
α
3
MC方法随机理论的基础
中心极限定理告诉我们,蒙特卡洛方法的误差与随机数的均方差和抽样模拟次数n有关，
为了减小误差,就应当选取最优的随机变量,使其方差最小，
在方差固定时,增加模拟次数可以有效地减小误差，如试验次数增加100倍,精度提高10倍，当然这样做就增加了计算的机时,提高了费用，
所以在考虑蒙特卡洛方法的精确度时,不能只是简单地减少方差和增加模拟次数,还要同时兼顾计算费用,即机时耗费，通常以方差和费用的乘积作为衡量方法优劣的标准，
误差控制
蒙特卡罗方法的特点
优点
能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程，
受几何条件限制小，
收敛速度与问题的维数无关，
具有同时计算多个方案与多个未知量的能力，
误差容易确定，
程序结构简单,易于实现，
缺点
收敛速度慢，
误差具有概率性，
在粒子输运问题中,计算结果与系统大小有关，
能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
从这个意义上讲,蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验,甚至可以得到物理实验难以得到的结果，用蒙特卡罗方法解决实际问题,可以直接从实际问题本身出发,而不从方程或数学表达式出发，它有直观、形象的特点，
如：求连续掷两颗骰子,点数之和大于6
且第一次掷出的点数大于第二次掷出点数的概率，
受几何条件限制小
在计算s维空间中的任一区域Ds上的积分
时,无论区域Ds的形状多么特殊,只要能给出描述Ds的几何特征的条件,就可以从Ds中均匀产生N个点
,得到积分的近似值，
其中Ds为区域Ds的体积，这是数值方法难以作到的，
另外,在具有随机性质的问题中,如考虑的系统形状很复杂,难以用一般数值方法求解,而使用蒙特卡罗方法,不会有原则上的困难，
收敛速度与问题的维数无关
,在给定置信水平情况下,蒙特卡罗方法的收敛速度为 ,与问题本身的维数无关，
,抽取的子样总数N与维数s无关，维数的增加,除了增加相应的计算量外,不影响问题的误差，这决定了蒙特卡罗方法对多维问题的适应性，
,比如计算定积分时,计算时间随维数的幂次方而增加,而且需占用相当数量的计算机内存,这些都是一般数值方法计算高维积分时难以克服的问题，
具有同时计算多个方案与多个未知量的能力
，对于那些需要计算多个方案的问题,使用蒙特卡罗方法有时不需要像常规方法那样逐个计算,而可以同时计算所有的方案,其全部计算量几乎与计算一个方案的计算量相当，
,对于均匀介质的平板,要计算若干种厚度的打靶穿透概率时,只需计算最厚的一种情况,其他厚度的穿透概率在计算最厚一种情况时稍加处理便可同时得到，
误差容易确定
对于一般计算方法,要给出计算结果与真值的误差并不是一件容易的事情,而蒙特卡罗方法则不然，根据蒙特卡罗方法的误差公式,可以在计算所求量的同时计算出误差，对于很复杂的蒙特卡罗方法计算问题,也是容易确定的，
程序结构简单,易于实现
在计算机上进行蒙特卡罗方法计算时,程序结构简单,分块性强,易于实现，
收敛速度慢
如前所述,蒙特卡罗方法的收敛速度为 一般不容易得到精确度较高的近似结果，对于维数少 三维以下 的问题,不如其他方法好，
误差具有概率性
由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下估计的,所以它的误差具有概率性,而不是一般意义下的误差，
随机数的产生
由于MC是在计算机上的随机模拟试验，因此,如何产生随机数,如何进行给定分布的随机数抽样,是直接和间接MC方法的关键，
随机数包含：真随机数列, 伪随机数列
真随机数
真随机数数列是不可预计的,因而也不可能重复产生两个相同的真随机数数列，
真随机数只能用某些随机物理过程来产生，例如：放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等等，
如果采用随机物理过程来产生蒙特