文档介绍：论四大空间
1前曰
数学是将一类问题或事物高度抽象化，以一种严密的逻辑推导、总结和归纳 出一类或一簇问题或事物的规律，并用抽象的数学语言进行描述。我们开始学****数学从自然数开始，先有了数的概念，即已经可以把事物抽象化为数，然后有了 距离论四大空间
1前曰
数学是将一类问题或事物高度抽象化，以一种严密的逻辑推导、总结和归纳 出一类或一簇问题或事物的规律，并用抽象的数学语言进行描述。我们开始学****数学从自然数开始，先有了数的概念，即已经可以把事物抽象化为数，然后有了 距离和大小的概念，进而有了运算。我们开始研究数与数的关系，然后引入了有 理数、无理数和实数等一些列数类(数的集合)，随着这些数类的引进，我们又 要研究这些数类之间的关系，这是一个不断将研究对象特殊化，进而研究更高层 次的规律的过程，这时引入函数，我们开始研究积分、微分和变分等问题。为了 在更高层次研究函数或类似函数的集合体，我们开始研究无限维向量空间上的函 数，算子和极限理论。有限维就成为他的一个个体，而泛函分析正是研究具有无 限个自由度的物理系统的数学工具，四大空间又是泛函分析所研究的基础。
2四大空间
定义：设E是非空集合，K是实(或复)数域。
在E中定义加法：
Vx, y e E,存在唯一z e E，记z = x + y,
在E与K之间定义数乘：
Vx e E,人e K,存在唯一8 e E，记8 =Xx,且满足八条运算规律：
x + y = y + x;
(x + y) + z = x + (y + z)
30 e E, 有x + 0 = x
3 -x e E,有x + (- x)= 0 人(px)=(人p) x 1 - x = x,0 - x = 0 (人 + p) x = Mx + px 人(x + y)=况 + Xy
则称E是(数域K上的)线性空间(或向量空间)。
在线性空间内无法比较大小，没有距离的概念。
定义：设X为一个集合，一个映射d： XXX-R。若对于任何x,y,z属于X，
SE负性：d(x,y)N0,且 d(x,y)=0 当且仅当 x = y；
对称性：d(x,y)=d(y,x)；
三角不等式：d(x,z)忍d(x,y)+d(y,z)
则称d为集合X的一个距离(或度量)。称偶对(X, d)为一个距离空间， 或者称X为一个对于距离d而言的距离空间。
有了距离空间的概念我们就给线形空间引入了距离的概念，但是又缺少了线 性空间所具有的线性运算。
定义:设X是数域K上的线性空间，若V x ex,都有一个实数11x11与之对应， 使得V x,yex,a eK满足下列三条范数公理
正定性：||x||N0, ||x|| =0时当且仅当x=0；
齐次性：Ila x||二|a | llxll；
三角不等式：|x+y IWIIxll + || y ||；
则称实数Ix||为x的范数，X是K上的赋范线性空间。
任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y x||也是度量空间。(如果
这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿 距离，这里在任何两点或向量之间