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t
1 1
a X X b X X X b X
t t n t t n t t t
X X 0
所以， ˆ a
1 1 t t
这说明 ˆ 是 的线性组合。
1 t
至此，参数的线性特性证明完毕。
问题参数估计值线性特性的深层次含义是什么？要根据被解释变量、
2随机扰动项和的随机性来理解。
二、 无偏性的含义
所谓无偏性是指估计值的均值等于真实值。在这里，无偏性是指参数
估计值 ˆ 和 ˆ 的期望值分别等于总体参数 和 。其数学上要求是
1 2 1 2
E ˆ 和 E ˆ 。
1 1 2 2
证明：根据参数估计值的线性特征，我们推导出：
ˆ a ，所以有：
1 1 t t
E ˆ E a E E a
1 1 t t 1 t t
E E a E E a E
1 t t 1 t t
E
1
相似地， ˆ b ，所以有
2 2 t t
E ˆ E b E E b
2 2 t t 2 t t
E E b E E b E
2 t t 2 t t
E
2
三、 最优性（有的书本上直接称之为最小方差性）的含义
最优性是指用最小二乘法得到的参数估计值 ˆ 和 ˆ 在各种线性无偏
1 2
估计中得到的方差最小。
根据上述的定义，我们可以任意假设 ˆ 是用其他方法得到的总体参数
2
ˆ 的一个线性无偏估计。
2
因为 ˆ 具有线性特性，我们可以得到：
2
ˆ c Y c X ，
2 t t t 1 2 t t
3E ˆ E c Y E c X
2 t t t 1 2 t t
c E X
t 1 2 t t
c c E X c E
t 1 t 2 t t t
c c E X 0
1 t t 2 t
c c X
1 t 2 t t
又因为 ˆ 是用其他方法得到的总体参数ˆ 的一个无偏估计，所以有
2 2
E ˆ
2 2
所以由上述两个结果，可以得到：
c c X
1 t 2 t t