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高中数学竞赛校本教材[全 失去重要性的地
方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定
要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。
谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？2．线段 AB 上有 1998 个点（包括 A，B 两点），将点 A 染成红色，点 B 染成蓝色，其余
各点染成红色或蓝色。这时，图中共有 1997 条互不重叠的线段。
问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？
3．1000 个学生坐成一圈，依次编号为 1，2，3，…，1000。现在进行 1，2 报数：1 号学生
报 1 后立即离开，2 号学生报 2 并留下，3 号学生报 1 后立即离开，4 号学生报 2 并留下……
学生们依次交替报 1 或 2，凡报 1 的学生立即离开，报 2 的学生留下，如此进行下去，直到
最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？
4．在 6×6 的正方形网格中，把部分小方格涂成红色。然后任意划掉 3 行和 3 列，使得剩下
的小方格中至少有 1 个是红色的。那么，总共至少要涂红多少小方格？
二、从极端情况考虑
从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值； 对于一个动
点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个
条件，求解也就会变得容易得多。
5．新上任的宿舍管理员拿着 20 把钥匙去开 20 个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中
的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的 20 个门，他最多要开
多少次？6．有 n 名（n≥3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。问：是否能够找到
三名选手 A，B，C，使得 A 胜 B，B 胜 C，C 胜 A？
7．n（n≥3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相
同。
试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍
然都不完全相同。
8．在一个 8×8 的方格棋盘的方格中，填入从 1 到 64 这 64 个数。问：是否一定能够找到两
个相邻的方格，它们中所填数的差大于 4？
三、从整体考虑
从整体上来考察研究的对象，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而能够拓宽思路，抓
住主要矛盾，一举解决问题。
9．右图是一个 4×4 的表格，每个方格中填入了数字 0 或 1。按下列规则进行“操
作”：每次可以同时改变某一行的数字：1 变成 0，0 变成 1。
问：能否通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成 1？
10．有三堆石子，每堆分别有 1998，998，98 粒。现在对这三堆石子进行如下的“操作”：
每次允许从每堆中各拿掉一个相同个数的或 石子，从任一或 堆中取出一些石子放入另一堆
中。
按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如行，请设计一种取石子的方案；
如不行，请说明理由。11．我们将若干个数 x，y，z，…的最大值和最小值分别记为