文档介绍：向量在平面几何中解题的应用
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一、向量有关知识复****br/>（1）向量共线的充要条件:
与 共线
（2）向量垂直的充要条件：
（3）两向量相等充要条件：
且方向相同。
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二、应用向量知识证明平建立坐标系，
设A(0,a) B(b,0) C(c,0)
只要求出点H、F的坐标，
就可求出 、 的坐
标进而确定两向量共线，即三点共线。
再设H(0,m) F(x,y)
由A、B、F共线；CF⊥AB对应向量共线及垂直解得：
可得：
可得：
即 而CF、CH有公共点C，所以
C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点
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三、应用向量知识证明三线共点、三点共线
例二、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N，
在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q，
使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线
A
B
C
N
M
Q
P
解：设
则
由此可得
即 故有 ，且它们有
公共点A，所以P、A、Q三点共线
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四、应用向量知识证明等式、求值
例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，
使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，
求△AEM的面积
A
B
C
D
M
N
E
F
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四、应用向量知识证明等式、求值
例一、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起，
使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，
求△AEM的面积
A
B
C
D
M
N
E
F
解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由
正方形面积为64，可得边长为8
由题意可得M(8,4)，N是AM的
中点，故N(4,2)
=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)
解得：e=5 即AE=5
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四、应用向量知识证明等式、求值
例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB
求证：
分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB,
联想线段的定比分点，利
用向量坐标知识进行求解。
O
A
B
G
·
P
Q
由PO=mOA, QO=nOB可知：
O分 的比为 ，O分 的比为
由此可设 由向量定比分点公式，可求
P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而
由向量 ，得到 m n 的关系。
-m -n
? ?
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四、应用向量知识证明等式、求值
例二、PQ过△OAB的重心G，且OP=mOA,OQ=nOB
求证：
O
A
B
G
·
P
Q
证：如图建立坐标系，
设
所以重心G的坐标为
由PO=mOA, QO=nOB可知：
即O分 的比为-m，O分 的比为-n
求得
由向量 可得：
化简得：
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例3 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
A
B
C
D
E
F
R
T
猜想：
AR=RT=TC
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解：设 则
由于 与 共线，故设
又因为 共线，
所以设
因为
所以
A
B
C
D
E
F
R
T
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线，
故AT=RT=TC
A
B
C
D
E
F
R
T
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你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
简述：形到向