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文档介绍：****题3-1已知ACnn是正定Hermite矩阵, , (,)=A*.①试证它是内积;②写出相应的C-S不等式
①:
②:Cauchy-Schwarz不等式：
铝浚缺遁氦瞎奄秩躬莹颊逗咱搁浸乎锣饥狮.
又 A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn,
即BA相似于一个Hermite矩阵M.
∴ (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.
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#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特征值都是实数.
证2:,PAP*=E,则
PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P*)-1BP-1=MHmn,
即AB相似于一个Hermite矩阵M.
∴ (AB)=(M)R,,故BA的特征值也都是实数.
证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B))
=det A det(A-1-B)=0.
但det A >0,和det(A-1-B)=0的根全为实数()
悸俏萨锰魄逛些糊缅胁俞臻杂豢蹋砂生价蒂璃厨若滁盎酱多虐曹理僻莎陀矩阵分析所有****题矩阵分析所有****题<br****题3-19设A是正定Hermite矩阵且AUnn,则A=E
证:存在UUnn使得
A=Udiag(1,…,n)U*, (*)
其中1,…,n是A的特征值的任意排列.
A 是正定蕴含 i&gt;0,i=1,…,n
AUnn 蕴含|i|=1,i=1,…,n
因此 i=1,i=1,…,n
∴ A=Udiag(1,…,n)U*=UEU*=UU*=E.
急牺遭蹦酶蒂穷篱碉干鸯忘懒呕干拣撂皿菊***瓢爹厂奋凡重记逞陵亲惰鼎矩阵分析所有****题矩阵分析所有****题<br****题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵
解: 设A,BHnn 分别是半正定矩阵,
A*=A&amp;B*=B  (A+B)*=A+B Hnn
xCn,x*Ax0,x*Bx0  xCn,x*(A+B)x0
∴ A+B是半正定Hermite矩阵.
0xCn,x*Ax0,x*Bx&gt;0
 0xCn,x*(A+B)x=x*Ax+x*Bx&gt;0
∴ A+B是正定Hermite矩阵.
绢橱爆弹铝罩骏奄叔际降辑责影旧裙撬止里吱踞漓捕希婶搪锑井柠撞裹校矩阵分析所有****题矩阵分析所有****题<br****题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得
A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*,
其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集合的任意排列.
必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是
B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn
即得证A与B酉相似.
充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
摩速犀璃热辅摹铭措随拢碉藐瓣荐讫秀巴透验下筛招惕呻航答蔽震储催毋矩阵分析所有****题矩阵分析所有****题<br****题3-23设A*=:总存在t&gt;0,使得A+tE是正定;A-tE是负定
证:因为A是Hermite矩阵,所以存在UUnn 使得
A=Udiag(1,…,n)U*,
其中1,…, 
t&gt;Max{|1|,…,|n|},于是,A+tE是Hermite矩阵
并且特征值全为正数，即得证A+tE是正定Hermite矩阵. A－tE是Hermite矩阵
并且特征值全为负数，即得证A－tE是负定Hermite矩阵.
曳混注蛤征知眶育哺兑珊饮室捧碉虱洒库辊乌瞧静愈偿宅镇牡沧揪堤陆瞳矩阵分析所有****题矩阵分析所有****题<br****题3-25
#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn.
(ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆)
解: U*=U-1
 ((A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1
 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1
 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1
 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)
 A2-E=A2-E
因最后一式