文档介绍：The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
—立体几何中的向量方法
13—立体几何中的向量方法
【基
,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<DP→,AE→>=33,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为( A )
(A)(1,1,1) (B)(1,1,12) (C)(1,1,32) (D)(1,1,2)
解析:设P(0,0,z),
依题意知A(2,0,0),B(2,2,0),
则E(1,1,z2),
于是DP→=(0,0,z),AE→=(-1,1,z2),
cos<DP→,AE→>=DP→·AE→|DP→||AE→|=z22|z|·z24+2=33.
解得z=±2,
由题图知z=2,故E(1,1,1).
,点M在AC1上且AM→=12MC1→,N为B1B的中点,则|MN→|为( A )
(A)216a (B)66a (C)156a (D)153a
解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则A(a,0,0),C1(0,a,a),
N(a,a,a2).
设M(x,y,z).
∵点M在AC1上且AM→=12MC1→,
∴(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z)
∴x=23a,y=a3,z=a3.
∴M(2a3,a3,a3),
∴|MN→|=(a-23a) 2+(a-a3) 2+(a2-a3) 2
=216a.
故选A.
,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则|PC→|等于( C )
(A)62 (B)6(C)12 (D)144
解析:因为PC→=PA→+AB→+BC→,
所以PC→2=PA→2+AB→2+BC→2+2AB→·BC→
=36+36+36+2×36cos 60°
=144.
所以|PC→|=12.
=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为89,则λ= . 
解析:由已知得89=a·b|a||b|=2-λ+45+λ2·9,
∴85+λ2=3(6-λ),
解得λ=-2或λ=255.
答案:-2或255
(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC内,则x= . 
解析:根据共面向量定理设AP→=λAB→+μAC→,
即(x-4,-2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8),
由此得x-4=-2λ-μ,-2=2λ+6μ,0=-2λ-=-4,μ=1,
所以x=4+8-1=11.
答案:11
1．异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．
2．直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝．
3．二面角
(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)．
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图(2)(3)．
[典例引领]
(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
解：(1)证明：连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF．在菱形ABCD中，不妨设GB＝1．
由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝．
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC．
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝．
在Rt△FDG中，可得FG＝．
在直角梯形BDFE中，
由BD＝2，BE＝，DF＝，
可得EF＝．
从而EG2＋FG2＝EF2，
所以EG⊥FG．
又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC．
因为EG⊂平面AEC，
所以平面AEC⊥平面AFC．
(2)以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，