文档介绍：自动控制原理总结之判断系统稳定性方法
判断系稳定性的方法
一、稳定性判据(时域)
1、赫尔维茨判据
系统稳定的充分必要条件:特征方程的各项系数全部为正; 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式;
an?1an?3
anan?2
0an?1
?n?0an
?
0?00an?5an?4an?3an?2?00?????00000000000?a1
?a2a0
当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时,即
?1?an?1?0
?2?an?1an?3?0anan?2
an?1an?3an?5
?3?anan?2an?4?0
0an?1an?3
?
?n?0
则方程无正根,系统稳定。
赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成,规律简单明
确,使用也比较方便,但是对六阶以上的系统,很少应用。
432例;若已知系统的特征方程为s?8s?18s?16s?5?0
试判断系统是否稳定。
解:系统特征方程的各项系数均为正数。
81600
11850??08160
01185 根据特征方程,列写系统的赫尔维茨行列式。
由△得各阶子行列式;
?1?8?8?0
?2?816?128?0118
816
?3?118
0805?1728?016
?4???8690?0
各阶子行列式都大于零,故系统稳定。
2、劳思判据
(1)劳思判据充要条件:
A、系统特征方程的各项系数均大于零,即ai>0;
B、劳思计算表第一列各项符号皆相同。
满足上述条件则系统稳定,否则系统不稳定,各项符号变化的次数就
是不稳定根的数目。
(2)劳思计算表的求法:
A、列写劳思阵列,并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行,即:
snanan?2an?4an?6
sn?1an?1an?3an?5an?7
sn?2b1b2b3b4
sn?3c1c2c3c4
??????????
s2
s1
s0u1v1w1u2
B、计算劳思表
b1?
b2?
b3?
?an?1an?2?anan?3an?1an?1an?4?anan?5an?1an?1an?6?anan?7an?1
系数bi的计算要一直进行到其余的bi值都等于零为止。
用同样的前两行系数交叉相乘,再除以前一行第一个元素的方法,可以计算c,d,e等各行的系数。
c1?
c2?
c3?
?b1an?3?an?1b2b1b1an?5?an?1b3b1b1an?7?an?1b4b1
c1b2?b1c2
c1d1?
?
(3)劳思判据的两种特殊情况
A、劳思计算表第一列出现零的情况
因为不能用零作为除数,故第一列出现零时,计算表不能继续排下去。为解决该问题,其办法是用一个小的正数ε代替0进行计算,再令ε→0求极限来判别第一列系数的符号。
B、劳思计算表中出现某一行各项全为零的情况
此时,劳思表将在全为零的一行处中断,其解决办法是将不为零的最后一行的各项组成一个“辅助方程式”,将该方程式对
s求导数,用求得的各项系数代替原来为零的各项,然后按劳思计算表的写法继续写完以后各项,对