文档介绍：*
万阵A与其伴随矩阵A的关系
*
摘 要 本文给出了 n阶方阵A的伴随矩阵A的定义，讨论了 n阶方阵A与其伴随矩阵 A之间的关
系，例如A与A*之间的关系，并且给出了相应的证明过程.
关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明
在高等*
万阵A与其伴随矩阵A的关系
*
摘 要 本文给出了 n阶方阵A的伴随矩阵A的定义，讨论了 n阶方阵A与其伴随矩阵 A之间的关
系，例如A与A*之间的关系，并且给出了相应的证明过程.
关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明
在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。
它们之间有很好的联系,
对我们以后的学
习中有很大的用处。
.伴随矩阵的定义.
设n阶方阵
a21
an1
A aij n n
ai2
a22
an2 .令 A*
Aij
A1
A1
A21
A22
A
An
,其中Aj是aj
a〔n
a2n
ann
A1n
A2n
Ann
*
A为A的伴随矩阵.
*
.矩阵A与其伴随矩阵A的关系及其证明.
1
AA = A A = detAI .当 A 可逆时，有 A
det A
detAA
1
[1].
证明：因为 a i 1 A j1 ai 2 A j2
a In
A jn
det A,若
0,若i
j, j；
a11A1 j a2i A2 j
a ni
Anj
det A,若
0,若i
j, j；
det A
det A
0
--* , * -
=detAI
所以AA =A A =
det A
当 A是可逆矩阵时，det A 0,所以由上式得
det A
det A
一 T * J T
A = A .（显然）
若A可逆，则
*
A1 = A
设A为n阶方阵
n n
A1
1
.（显然）
熹A..
n 1 [2].
n
2矩阵A, B满足AB 0,则rA r B n.
证明 因为AB 0,所以B的列向量是以
detA ，方程只有零解，从而B 0,进而r B 0；
r n,则方程组的基础解系中含n r个向量，于是r B
因此有
n.
证毕.
.
⑴当r A
1时,
A的每一个n
*
A为零阵，所以r A
⑵当r A
1时,
detA 0, AA =detAI =
*
1知，r A + r A n .因为
1,知A至少有一个
*
一行不全为零
*
.所以r A
*
1,从而r A
⑶当r A
n时，A可逆,
由1知,
A
*
det A
det A n 1
①当A可逆时,
1
det AA 1
.. -*
所以det A
det
n1
A det A
det A n 1
②当A不可逆时，r
A n 1, det A 0.
1）当n 2时