文档介绍：复变函数总结
第一章
复数
1
=-1
欧拉公式
z=x+iy
实部Re
z
虚部
Im
z
2运算 的摆线：
解：已知，直线段L与C构成一条闭曲线。因在全平面上解析，
则
即
把函数沿曲线C的积分化为沿着直线段L上的积分。由于
故
★关键：①恰当参数
②合适精确带入z
3不定积分
设函数在区域D内连续，若D内的一个函数满意条件
若可用上式，则
例：
计算
解：
练****计算
解：
4柯西积分公式
定理
到处解析在简洁闭曲线C所围成的区域内则
例1：
解：
例2：
解：
例3：
解：
注：①C：
②
一次分式
③找到
在D内到处解析
例4：
解：5
解析函数的高阶导数
公式：
n=1，2……
应用要点：①
②
③精准分别
例：
6
调和函数
若满意则称叫做D内的调和函数
若在D内解析
所以
把称为共轭调和函数
第四章
级数理论
1复数到
距离
谈极限
对若有使得
此时
为的极限点
记作
或
推广：对一个度量空间都可谈极限
2
极限的性质
3
4
级数问题
部分和数列
若
则收敛，反之则发散。
性质：1若
都收敛，则收敛
2若一个收敛，一个发散，可推动身散
3
若
肯定收敛
若
但收敛
，为条件收敛
等比级数
：
时收敛，其他发散
幂级数
则
求收敛域
例：求的收敛半径及收敛圆
解：因为
所以级数的收敛半径为R=1，收敛圆为
泰勒级数
泰勒定理：设函数在圆K：内解析，则在K内可以展成幂级数
其中，
，（n=0,1,2……），且展式还是唯一的。
例
1：求在处的泰勒展式
解
：在全平面上解析，
，
所以在处的泰勒展式为
例2：
将函数展成的幂级数
解：
罗朗级数
罗朗定理
若函数在圆环D：内解析，
则当时，有
其中
例：将函数在圆环（1）
（2）
内展成罗朗级数。
解：（1）在内，由于，所以
（2）在内，由于，所以
孤立奇点
定义：若函数在的去心邻域内解析，在点不解析，则称为的孤立奇点。
例
：
为可去奇点
为一级极点
为本性奇点
第5章
留数理论（残数）
定义：
设函数以有限项点为孤立奇点，即在的去心邻域内解析，则称积分的值为函数在点处的留数
记作：
其中，，C的方向是逆时针。
例1：求函数在处的留数。
解：因为以为一级零点，而，因此以为一级极点。
例2：求函数在处的留数
解：是的本性奇点，因为
所以
可得
第7章
傅里叶变换
通过一种途径使困难问题简洁化，以便于探讨。
定义：对满意某些条件的函数
在上有定义，则称
为傅里叶变换。
同时
为傅里叶逆变换
注：①傅里叶变换是把函数变为函数
②傅里叶逆变换是把函数变为函数
③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，