文档介绍：第一章矩阵
矩阵的概念:(零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)
矩阵的运算:加法(同型矩阵)---------交换、结合律
数乘---------分配、结合律
乘法
(一般AB=BA,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0)
转置:
方幂:
逆矩阵:设A是N阶方阵,若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的, 且
矩阵的逆矩阵满足的运算律:
1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的,且
2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的,且
3、可逆矩阵A的转置也是可逆的,且
4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的,且,但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆,即使可逆,但。A为N阶方阵,若|A|=0,则称A为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵。
5、若A可逆,则
逆矩阵注:①AB=BA=I则A与B一定是方阵②BA=AB=I则A与B一定互逆;
③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若A可逆,则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵:加法,数乘,乘法都类似普通矩阵
转置:每块转置并且每个子块也要转置
注:把分出来的小块矩阵看成是元素
初等变换:
1、交换两行(列)
2.、非零k乘某一行(列)
3、将某行(列)的K倍加到另一行(列)
初等变换不改变矩阵的可逆性,初等矩阵都可逆
初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵
等价标准形矩阵
第二章行列式
N阶行列式的值:行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和
行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式)
②行列式中某两行(列)互换,行列式变号。
推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等,则行列式等于零。
③常数k乘以行列式的某一行(列),等于k乘以此行列式。
推论:若行列式中两行(列)成比例,则行列式值为零;
推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。
④行列式具有分行(列)可加性
⑤将行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上,值不变
行列式依行(列)展开:余子式、代数余子式
定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则:
非齐次线性方程组:当系数行列式时,有唯一解:
齐次线性方程组:当系数行列式时,则只有零解
(逆否命题:若方程组存在非零解,则D等于零)
特殊行列式:
①转置行列式:
②对称行列式:
③反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零
④三阶线性行列式:
解法:用把化为零,。。化为三角形行列式
⑤上(下)三角形行列式
第三章矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩r(A):
若A可逆,则满秩
若A是非奇异矩阵,则r(AB)=r(B)
初等变换不改变矩阵的秩
求法:;
伴随矩阵:A为N阶方阵,伴随矩阵:
特殊矩阵的逆矩阵:
1、分块矩阵则
2、准对角矩阵, 则
3、 4、(A可逆)
5、 6、(A可逆)
7、 8、
判断矩阵是否可逆:充要条件是,此时
求逆矩阵的方法:
定义法
伴随矩阵法
初等变换法,只能是行变换。
初等矩阵与矩阵乘法的关系:
设是m*n阶矩阵,则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于