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基于排队论的简单实际应用
基于排队论的简单实际应用
摘要：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服匀分布，每次电话的持续时间是均值为6分钟的随机变量，经理关心由于占线而可能打不进来的人数。他们当中有人稍后可能重拨电话，而其他人则可能放弃通话，一天中接通的电话平均数是70。
1、问题的提出：请仿真这个办公室的电话系统并给出如下估计：
（1）无电话占线，有一条、两条占线和三条占线的时间百分比；
没有打进电话的人所占的百分比。
若办公室再新装一部电话，你怎样修改模型改进这一模型还需要其他什么信息
2、问题的分析：这是一个多服务台混合制模型M/M/s/K，顾客的相继到达时间服从参数为的负指数分布（即顾客的到达过程为Poisson流），服务台的个数为s，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为的负指数分布，系统的空间为K。
3、背景的分析：在办公室三部电话系统的前提下，研究其工作情况，无电话占线、有一个、有两个、三个都占线所占的时间百分比，为保证顾客源不致过多的流失，能够接通更多的电话，比较研究是否应该新增加一台电话。
4、建立的模型：
①假设：顾客的相继到达时间服从参数为的负指数分布，服务时间服从参数的负指数分布，表示在时刻t，服务系统的状态为n（系统中顾客数为n）的概率，平稳状态队长N即系统中的顾客数其期望值，平稳状态排队长,指系统中排队等待服务的顾客数其期望值为，逗留时间
指平稳状态顾客在系统中的停留时间，记它的期望值为，等待时间指平稳状态顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作，表示当系统处于n时新来顾客的平均到达率，表示当系统处于n时，整个系统的平均服务率，s是系统中并行服务的台数，s为系统的服务强度。Little公式为：，顾客拨打这三部电话是等可能性的。
②模型形式：为求平稳分布，考虑系统处的任一状态n。假设记录了一段时间内系统进入状态n和离开状态n的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等要么相差1。但就这两件事件平均发生率来说，可以认为是相等的。即当系统运行相当时间而达到平衡状态后，对任一状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流入=流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
0
1
2
n-1
n
由上述平衡方程，可求得
0：
1：
2：
n：
记
n=1，2，…
则平稳状态的分布为：
n=1，2，…
由概率分布的要求
有
于是
上式只有当分母级数收敛时才有意义，即当时，才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。
由上面推导知本电话系统模型中有：
于是
其中
由平稳分布，n=0,1,2,…，K,可得平均排队长为：
为求平均队长，由
得到
由系统的空间的有限性，必须考虑顾客的有效到达率。对多服务台系统有