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134最短路Lorem Ipsum
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134最短路径问题
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，
你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，
使△PQR的周长最短吗？
(三)二次轴对称：
一点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要
从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
（四）二次轴对称：
两点在两相交直线内部
A
B
A/
B/
P
Q
最短路线：A P Q B
l
M
N
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？
（四）二次轴对称：
两点在两相交直线内部
.
.
.
.
.
.
A
A'
B
B'
C
D
M
O
N
例4变式：
（四）二次轴对称：
两点在两相交直线内部
两点在一条河两侧
：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，A和B两地在一条河的两岸，？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
B
A
(五)造桥选址问题
思维分析
B
A
1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
Ｍ
Ｎ
2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
思维火花
各抒己见
1、把A平移到岸边.
2、把B平移到岸边.
3、把桥平移到和A相连.
4、把桥平移到和B相连.
古有愚公移山，今有学子搬桥，呵呵!
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.
合作与交流
1、2两种方法改变了.
怎样调整呢？
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决
B
A
A1
M
N
如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｎ１
Ｍ１
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
问题延伸
如图，A和B两地之间有两条河，？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
思维分析
如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.
平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处
思维方法
沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ