文档介绍：“将军饮马问题”的探究与启迪
【纲要】利用“将军饮马问题”中的轴对称思想去解决线段和最小的问题，是较多学生解题的“障碍”问
题，现经过数学建模思想把这类问题化归为“将军饮马问题”，利用“两点之间线段最短”加以证明，同时
3
，
4
。（3）当
m
时，
3
1
S最大
P1
3
4
反省：本题对第
2问的解答是转变为“求定直线
x1
上一动点与直线外两定点
B、C的距离和的最小
值”，它的原型就是“将军饮马问题”的基本问题，由于和函数联合一同，增加了命题的想象空间，这里，
蕴含了丰富的“数”与“形”相互转变的数学思想。
3、在代数式中的运用：已知
a、b均为正数，且
a+b=8，求代数式
a2
4
b2
16
的最小值。
剖析：由a
、b均为正数，且a+b=8，得
a2
4b2
16=
a2
4
(8
a)2
16，结构合适图形可将其转变为求两条线段和的最
小值问题。如图，取
AC=2，BD=4，AB=8，作C对于AB的对称点C′，连结C′D交AB于P，连结CP，
设PA=a，则PB=8－a，CP=
，DP=
(8
)
2
16。此时C′、P、D
三点共线，C′
a
D=CP+DP=
82
62
=10为最小值。
反省：正是由于
a、b均为正数，能够把本题结构“将军饮马问题”的基本图形，顺利地求出
a2
4
b2
9的最小值为
13，想法新奇但又理所应当。
三、问题推广
1、由“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”推广到“求两定直线上各一动点与直线
外两定点的距离和的最小值”问题：义务教育课程标准实验教科书八年级上册P47第9题，如图，A为马厩，
为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河畔给马喝水，然后回到帐篷，请
你帮助他确定这一天的最短路线。
剖析：作A对于MN的对称点G，B对于直线l的对称点H，连结
GH交MN于I，交直线l
于L，连结AI、BL，即可得出答案；
反省：根据对称点推出AI=GI，BL=HL，

J
N
草地
K
I
L
H
G
M
A
河
HK=BK，AJ=GJ，则四点

l
B
G、I、L、H在同一直线上
（基本问题中三点共线的推广），