文档介绍：概率论与数理统计 第四版
浙江大学 盛骤
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概率论部分2
第二章 随机变量及其分布
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2
第二章 随机变量及其分布
关键词：
随机变量
概率分布函数
离散型随机变量 独立。A={接受该批}。
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泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为
称X服从参数为λ的泊松分布，记
例：设某汽车停靠站候车人数
(1)求至少有两人候车的概率；
(2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。
解：
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§3 随机变量的分布函数
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例：
解：
p
X
0
1
q
p
0
1
q
1
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§4 连续型随机变量及其概率密度
定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数
有：
其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度。
则称X为连续型随机变量，
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与物理学中的质量线密度的定义相类似
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例：设X的概率密度为
(1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数；
(3) 要使 求k的值。
解：
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几个重要的连续量
均匀分布
定义：X具有概率密度
称X在区间(a,b)上服从均匀分布，
记为X～U(a,b)
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例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率
密度。并求 的值；
若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有
两个数大于0的概率。
解：X在区间(-1,2)上均匀分布
设10个数中有Y个数大于0，
则：
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指数分布
定义：设X的概率密度为
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记为
X具有如下的无记忆性：
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正态分布
定义：设X的概率密度为
其中 为常数，称X服从参数为
的正态分布(Gauss分布)，
记为
可以验算：
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称μ为位置参数(决定对称轴位置)
σ为尺度参数(决定曲线分散性)
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X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。
当固定μ时，σ越大，曲线的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，
∴ σ是反映X的取值分散性的一个指标。
在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。
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例：
查书后附表
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例：一批钢材(线材)长度
(1)若μ=100，σ=2， 的概率；(2)若μ=100，要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内，问σ至多取何值？
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例：设某地区男子身高
(1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于
175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高,问至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率为多少？
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§5 随机变量的函数分布
问题：已知随机变量X的概率分布，
且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。
X
pi
-1
0
1
例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的 测量值可看作随机变量X，若
则Y服从什么分布？
例：已知X具有概率分布
且设Y=X2，求Y的概率分布。
解：Y的所有可能取值为0,1
即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；
(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)
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例：设随机变量X具有概率密度
求Y=X2的概率密度。
解：分别记X,Y的分布函数为
Y在区间(0,16)上均匀分布。
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一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：
关键是找出等价事件。
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例：设
Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。
X
-1
1
0
p
Z
0
1
p
Y
-2
2
0
p
解：Y的可