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《复数》知识点总结
1、复数的概念
形如 a bi(a,b R) 的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i2 1，a 2 i
证明：原方程化简为| z | (1 i)z (1 i)z 1 3i,设 z＝x＋yi(x、y R )，代入上述方程
x 2 y 2 1
得 x 2 y 2 2xi 2yi 1 3i. 整理得8x 2 12x 5 0
2x 2y 3
16 0.方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。
3、综合类
1
例 3．设 z 是虚数， z 是实数，且－1< <2
z
（1） 求|z|的值及 z 的实部的取值范围；
1 z
（2） 设 M ，求证：M 为纯虚数；
1 z
（3） 求 M 2 的最小值。
解：（1）设 z＝a＋bi（a，b R,b 0 ）
1 a b
a bi (a ) (b )i, 因为， 是实数，b 0
a bi a 2 b 2 a 2 b 2
1
所以， a 2 b 2 1，即|z|＝1， 因为 ＝2a，－1< <2， a 1
2
1
所以，z 的实部的取值范围（－ ,1）
2
1 z 1 a bi (1 a bi)(1 a bi) 1 a 2 b 2 2bi bi
（2） M ＝ （这
1 z 1 a bi (1 a bi)(1 a bi) (1 a) 2 b 2 a 1
1
里利用了（1）中 a 2 b 2 1）。