文档介绍：考试试卷1
闭卷考试时间：100 分钟
一、填空题(本题 15分，每小题 3分)
1、 设A =(A , A , A , A )为四阶方阵，其中A (i = 1,2,3,4)为A的第i个列向量，
1 2 3 4 i
令 B = (A； 4、C； 5、B.
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘x后逐次往下一行加，再按最后一行展开得:
原式 =a xn一1 + a xn-2 H F a x + a 。
0 1 n - 2 n-1
五、
四、(本题 12 分)解：由 AX + E = A2 + X，得：(A - E)X = A2 - E,
则巴。2。3线性无关，故巴心2,a3是向量组叫
a 2’ &3的一个极大无关组;
（2）由于4个3维向量卩，卩，卩，a （i = 1,2,3）线性相关, 1 2 3 .
若卩，卩，卩线性无关，’卩’卩线性表示,
1 2 3 i 1 2 3
与题设矛盾；
1
于是卩’卩’卩线性相关，从而I P，卩，卩1= 1
1 2 3 1 2 3
1
123
123
=k — 5 = 0,k = 5 o
1231
0
1
1]
(1
0
0
2]
1
3
1
T -
—>
0
1
0
4
，
1
5
1
、0
0
1
-1
丿
V
丿
‘1
1
0
0]
‘1
0
0
1]
A=
<0
1
0
-1>
V 0
1
0
-1>
六、（本题 14 分）解：（ 1）
，所以方程组（I）
.B = 2a + 4a -a
1 1 2 3
(1
(3)令B = (a ,a ,a ,卩)=0
1231
1
的基础解系为：
0
0
1
‘2
0
1 ]
••• | A - E\ = 0
1
0 =-1 丰 0,. (A - E)可逆，故 X = A + E =
0
3
0
1
0
0
0
2丿
‘2 0
1 ]
由于|x| = 9丰0，
••• (X -1) * = X -1 W -1 丄1 =亠 X =-
0 3
0
o
IX 9
<1 0
2丿
(本题 14 分)解：(1)令 A = (a】,a? Q3)，丁 \a\ = 1 丰 0,. R( A) = 3,
U =(0,0,1,0》= (-1,1,0,1》;
/ 0
-1
0
1]
‘ k ]
1
'0
-1
0
1]
[1
0
0 1]
1
2
0
-1
1
k
=0,v
1
2
0
-1
0
1
0 -1
2
T -
-T
1
2
-1
0
k
3
1
2
-1
0
0
0
1 -1
V 0
1
0
-1>
3
V k 4丿
V 0
1
0
-1丿
V 0
0
0 0丿
9
故上述方程组的解为k （-1,1,1,1） T，
于是方程组（I）和（II）所有非零公共解为:
3“1
1,2,2,"= k 3叫 + k 4耳 2,即
(2)设k(0,1,1,0》+ k (
12
k（T,l,l,l）T （k丰0为任意常数）。
七、（本题 14 分）解：（1）
九
—1
0
0
—l
九
0
0
0
0
九-1
—1
—x
入一1
九-1
九一 1 一 x
—1九
—1 九一1
—1)2 — x)= 0
'0
1
0
0、
[1
0
0
0、
(2)由(1)得A =
1
0
0
0
0
1
0
1
，显然A为实对称阵，而AT A =
0
0
1
0
0
2
0
2
<0
0
1
1丿
<0
0
2
2丿
将入二2代人上式,
得 x = 1 ；
令 At A = A2 =
，显然心和码也是实对称阵，A】是单位阵,
由 |九E — A2I =
九-2 — 2
—2 九—2
=— 4）= 0，得A的特征值九=0,九=4,
2 1 2
[2 巧
A属于入对应的特征向量为a = （1, -1） t，单位化：耳=（，——）t ,
2 1 1 1 2 2
对应的特征向量为a = （1,1）t，单位化：耳=（上2 ；丄
2 2 2
A属于九
2
(1