文档介绍：实验4 积分计算
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实验目的：
1. 通过实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法；
2. 学****并掌握matlab求不定积分、定积分、二重积分、曲线积分的方法；
3. 学****matlabx)，积分区间为[0,1]，等距划分为20个子区间
y=exp(x);
选取每个子区间的的端点，计算端点处的函数值
y1=y(1:20);s1=sum(y1)/20;
取区间的左端点乘以区间长度全部加起来
s1=
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y2=y(2:21);s2=sum(y2)/20;
取区间的右端点乘以区间长度全部加起来
s2=
plot(x,y);hold on
for i=1:20
fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],’b’)
end
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for i=1:20
fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],’r’)
end
若取右端点，则
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从图上可以看出：
当点取得越来越多时，s2-s1的值会越来越小，可试取50个点计算，看结果如何。下面按等分区间计算
syms k n;
s=symsum(exp(k/n)/n,k,1,n);
limit(s,n,inf)
ans =
exp(1)-1
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结果与上面一样。
例9
解：
输入指令
syms x;
I=int(exp(x),0,1)
得结果:
I=exp(1)-1
4 计算定积分和广义积分
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例10
解：
输入指令
syms x;
int(abs(x-1),0,2)
ans =
1.
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int( ) 还可以求函数边界的定积分问题。
syms x t;
f=(-2*(x^2)+1)/(2*(x^2)-3*x+1)^2;
I=simple(int(f,x,cos(t),exp(-2*t)))
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I =
-(exp(2*t)*cos(t)-1)*(-2*cos(t)+exp(2*t))/(-2+exp(2*t))/(-1+exp(2*t))/(2*cos(t)-1)/(cos(t)-1)
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例12
解：
对第一个积分输入指令：
syms x;
syms p real;
int(1/x^p,x,1,inf)
ans =
limit(-(x-exp(p*log(x)))/(p-1)/exp(p*log(x)),x = inf)
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有结果看出，当p<1时，x^(-p+1)为无穷；当p>1时，ans=1/(p-1).
syms x;
int(1/(x-1)^2,0,2)
ans =
inf
对第二个积分，输入命令：
syms x;
int(1/(2*pi)^(1/2)*exp(-x^2/2),-inf,inf)
对第三个积分，输入命令：
ans =
7186705221432913/18014398509481984*2^(1/2)*pi^(1/2)
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例13
解：
输入指令：
syms x t;
int(sin(x)/x,0,t)
ans =
sinint(t)
>> help sinint
SININT Sine integral function.
SININT(x) = int(sin(t)/t,t,0,x).
See also COSINT.
Overloaded methods
help sym/
这类积分无法用初等函数或其值来表示。
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5 数值积分
(1)梯形积分法
------先将积分区间划分为几个小区间，用每个小区间上梯形面积之和作为积分的近似值。
具体方法如下：
分点为：a=x0,x1,…,xn=b,将区间分成n个等长的小区间，区间长度为Δx=b-a/n，设函数y=f(x)对应的各分点的函数值为y0,y1,…,yn,每个小梯形的面积为：
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从而有：
在编程时可采用如下方法估计误差：
可以证明梯形法最大误差为：
其中|f``(x)|≤M
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编程时可如下进行设误差为：
逐步计算A(n),若|A(n+1)-A(n)|<ε
则以A(n)作为积分的近似值。