文档介绍：二维随机变量的期望与方差
对于二维随机变量 ,如果
总（産）卫（F）
存在，则
（心叫为二维随机变量
的数学期望。
、当 （ X , Y ） 为二维离散型随机变量时
总（£ =乞2＞洱厂2＞吐（召）
i J i
呼
=S[X-S(X)]2 + 2E[(X-E(XW - £(/))] + 甸尸一耳(7)『
由于X与Y相互独立，所以与 JE⑺相互独立，利用性质2、知道
E[(X-E(X)(Y-E(Yy)]=E(X-E(X)) = (E(X) - E(X)) (E(Y) - E(Y)) = 0
从而有，
D(X + F) = E[N—E(乂)『+ 同F —E〔F)『=D(£ + D(F)
可以证明： 相互独立的随机变量其各自的函数间，仍然相互独立 。
某学校流行某种传染病，患者约占1门为此学校决定对全校1000名师生进 行抽血化验。现有两个方案：①逐个化验；②按四个人一组分组，并把四个人抽到的血混合在一 起化验，若发现有问题再对四个人逐个化验。问那种方案好？
协方差与相关系数
分析协方差与相关系数反映随机变量各分量间的关系；结合上面性质 3 的证明，可以得到以下 结论：
若X与Y相互独立，则巫—陀0)d聊)2° 趾X-E(X))(F-财]可以用来刻划x与Y之间的某种关系
定义 设 ( X ， Y ) 为二维随机变量，若
S[(X- S(X)) (Y-EiY^
存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记作或”赵，即
Cov[^; Y] = E[(X-E(X)) (Y - E〔F))]=如
特别地 % = E[(X-E(^) (X -啟産))]=护-如『=如
二丑[了 一 眄)(Y - E(Yy)] = E[Y - E(Y)y = D(Y} 故方差D(X)，眄是协方差的特例。计算协方差通常采用如下公式:
Co巩底= = E(XY)- E(X)E(Y) 例题 设二维随机变量 （ X ， Y ） 的分布密度
忑2 +尹2 <]
定义 若3空]存在，且D（QW）大于零，则称
5[疋，F]
为X与Y的相关系数，记作Q赵，即
Co就应F]
若^ = 0,则称X与Y不相关。
由上述讨论知，当X与Y相互独立时，协方差5区***=°,从而％ = 口。
即X与Y相互独立时，X与Y 一定不相关。但X与Y不相关时，X与Y未必独立。
设1],即x的分布函数
- -1 <X<1
/W= 2
卫 其它
又Y=X^ .试证明X与Y不相关，也不相互独立。
上例说明，若 % =°，则乂与尸不相关。但丫=疋,说明y与X间确实存在某种关
系。实质上，门赵所刻划的只是随机变量X与Y之间的线性相关程度。
若戸眾为随机变量X与Y之间的相关系数，则有
1、
2、
从上述结论看出，戸赵的值域为卜1,1］，当丨^利
时，
表明 X 与 Y 之间几乎成线性
赵匸1的充要条件是：尸（F二空+坊=1,其中日，b为常数，且日丰0。
相关关系：“必从。当Pxv= 0时，x与Y不相关。
可能有其它的（如二次函数）
X与Y独立的充要条件是
注意 ，这里所讲的不相关，仅指不线性相关，虽然不线性相关 非线性的相关关系。
对于二维正态分布，我们已经证明了二维正态