文档介绍：第二章状态空间分析法
2—1状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态
方程
任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组 （一个或多个）独立的状态变量来描述。
设系统有n个状态变量x1，%，…，％，它们都是时并将质量m相对于加速度仪外壳的位移y作为系统输出，以加速度仪外 壳相对于地面的加速度电作为系统输入u，那么有:
写成矢量形式为:
（2 — 6）
这就是图2-2所示加速度仪的动态方程。
当加速度电为常数，且系统达到稳定状况时，有：
y = / k
所以我们可以通过y的读数，确定运动物体的加速度值。
【例2-2】RLC电路如图2-(t)，eo作为系
统输出y(t)。建立系统的动态方程。
该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C,我们可以取电容C两端电压和流 过电感L的电流i作为系统的两个状态变量，分别记作x1和％。根据基尔霍夫电 压定律和R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程:
整理得:
写成矢量形式为:
（2 — 7）
这就是如图2-3所示RLC电网络的动态方程。
【例2-3】电枢控制式电机控制系统如图2-、L和i(t)分别为电 枢回路的内阻、内感和电流，
u(t)为电枢回路的控制电压，Kt为电动机的力矩系 数，Kb为电动机的反电动势系数。
根据电机原理，电机转动时，将产生反电势eb，其大小为:
在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩T与电枢回路的电流成正比，即:
T=K「i(t)
根据基尔霍夫电压定律，电枢回路有下列关系：
L — + 五工 + 处=L2(t)
对电机转轴，根据牛顿定律，有：
T = + 冲
x2、
写成矢量形式为:
x3，取电机轴转角。为系统输出
取电枢回路电流i(t)、电机轴转角。及其角速度3为系统的三个状态变量x1、 电枢控制电压u(t)为系统输入，我们有:
'R
0
_恐.]
-[—
L
L
L
0
0
1
X +
□
冬
0
0
X =
【例2-4】多输入多输出系统
(MIMO)如图2-5所示机械系统，质量m1,
.（2 — 8）
各受到f1, f2的作用，其相对静平衡位置的位移分别为
竺3® xiCt）..:7i W
以 ►
32
如图9—5多输A多输出系统(MIMO)机械系统
根据牛顿定律，分别对m1, m2进行受力分析，我们有:
I
mM = f^t：） + 河V* --说）
= 写（亡）-尹（R - v±）- 状浪一'莲l）
取x1、
v、v为系统四个状态变量x、x、
12 12
x、x， f(t)、f(t)为系统两个控制
3 4 1
输入u(t)、u (t)，则有状态方程:
如果取x1、x2为系统的两个输出，即:
/.=而
、光=x2
写成矢量形式，得系统的动态方程为:
■ 0
0
1
o「
_ Q
0 -
0
0
0
0
0
k_
X +
1
0
码
码
码
码
k_
_ k_
A
_ 土
Q
码
码
m.-.
X =
（2-9）
2-3由控制系统的方块图求系统动态方程
系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关 系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。
要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成:
第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只 有标准积分器（1/s）、比例器（k）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器 件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。
第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独 立的状态变量*积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dx/dt。
第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微 分方程，从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量，即可以从方块图写 出系统的输出方程。
【例2-5】某控制系统的方块图如图2 — 6（Q）所示，试求出其动态方程。
(a)
(b)
图2 — 6系统方块图
解：
该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节，我们可 以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。
图2 — 6(Q)所示方块图经等效变换后如图2 — 6 (b