文档介绍：
随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统， 多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制程， 也可以根据系统的微分方程，传递函数或结构图来建立。后者称为模式转换问题。
（1）不含输入函数倒数项的n阶线性系统。
设n阶线性系统的微分方程具有如下形式
，同十由g” 一 1）十，,.十如_ &十如g =皿 zo心、
当 等初始值及在J U时的输入函数 已知时，系统在t时刻的行为就
可以完全确定。所以，可以选取柄冬"痛 ）共n个变量为系统的状态变量
曲=V
邛=寸
勇=护一 1）
瓦=扒咋_ 1）
方程（）可以写成
式中
输出方程为
这就是n阶线性系统的状态方程，记为
X =
■工1 ■
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—
—E
-1 ■"
记为
式中
G= [ 1 0 0 ■■■ 0 ]
1工n维矩阵
具有上面A矩阵形式的矩阵称为友矩阵。友矩阵的特点是主对角线右上方的元素为1,最后一行 的元素可取任何值，其余元素为零。
（2）含有输入导数项的n阶线性系统
设n阶线性系统的微分方程具有如下形式
卿）十口俨-】）十，,一拉+"=柿如十粕■"】）十，,顼十血■（
）
对于这种情况，若仍按不含输入导数项的微分方程的处理办法，状态方程就会出现输入函数的导 数项，这是不允许的。
我们可以这样来选取状态变量
= y —。曲—仇叫=也］—目似
x3 =（社一饷论—宙）—伉u = — 剧u
外=（曾如一° —仇小田―1）—衍皿S-叱，_伉m） — %_心=珏一 1 —伉一山
式中
状态方程可写为
0 0 ■■■ 0
10..'
控制矩阵为
输出方程为
状态空间表达式记为
式中系数矩阵仍为友矩阵
■ A _
B =炕
/ 维矩阵
_仲氏」 X 1
输出矩阵为
C= [ 1 0 0 . . . 0 1 维矩阵
而
D =机
因为描述线性定常系统的高阶微分方程是单输入单输出系统，所以状态方程中输入函数只有一个， 输出方程中输出变量也只有一个，与其相关的矩阵形式也较为简单。
例20某线性定常系统的微分方程为
2翌+ T翌+卬兽十钩=4俱
成 泓 说
写出其状态空间表达式。
解 先把方程变为式（）的形式
手略+璀+4，=阪
设状态变量为
Hl = y
枷
玲3
则状态空间表达式为
r = Ar 十 Bu
。=「1。Q ]
例21控制系统的微分方程为
泼+吊窿+侦斑+钩=诙十如
写出其状态空间表达式。
解这是输入函数具有导数项的微分方程。先计算：
角=。
昆=。
ft = 1
供=_5
参照式（），（），可得到状态方程
ii =总
邛=心十u
效=—8xl — 1。叱—7a；3 — 5 ti
输出方程为
状态空间表达式为
再根据微分方
已知控制系统的传递函数，可以求取其拉普拉斯的反变换，得到系统的微分方程， 程写出系统的状态空间表达式。
例22已知控制系统的闭环传递函数为
W _ 5+4
X(s) 菸十尸十5日十&
写出其状态空间表达式。
解先写出
(决+疽十寿十8)K>)=①十4)X3)
对上式进行拉普拉斯反变换，得到
忒％ 痂 rfy Hu
汲+就+ 5反+网=诙+S
再计算
状态空间表达式为
r = Ar 十 Bu
g= Ct
其中
_ - 3 - 5 - 1 _
B=[r
G= [ 1 0 0 ]
根据已知的传递函数，引入一个中间变量Z(s),用下面的方法也可以建立系统的状态空间表达 式。
设已知的传递函数具有下面的形式
F(g) 如5和十513网—'十…十龈 13十房ra
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