文档介绍：导数
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①平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:
②割线的斜率
O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
导数
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①平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:
②割线的斜率
O
A
B
x
y
Y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1=△x
f(x2)-f(x1)=△y
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定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或 , 即
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在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f’(x0) ,当x变化时,便 是x的一个函数,我们叫它为f(x):
f(x)在x=x0处的导数
f(x)的导函数
x=x0时的函数值
关系
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导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即:
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,:
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a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在 这个区间内 >0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 <0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数.
由上我们可得以下的结论:
如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.
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①求函数的定义域;
②求函数的导数 f/（x） ;
③解不等式 f/（x）>0 得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f/（x）<0 得f(x)的单调递减区间.
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结论: 若x0满足 f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果 f/(x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果 f/(x) 在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0).
从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
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:
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,,函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.
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一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:
(1):如果在x0附近的左侧 f/(x)>0 右侧 f/(x)<0 , 那么f(x0)是极大值;
(2):如果在x0附近的左侧 f/(x)<0 右侧 f/(x)>0 , 那么f(x0)是极小值.
解方程f/(x)=/(x)=0时:
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一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);
②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概
念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围
内讨论问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b](a,b)内
的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极
值必是函数的最值.
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