文档介绍：第七章 非线性方程求解
第一节 基本问题
非线性方程的根
求 f (x) = 0 的根
代数方程： f (x) = a0 + a1x + . . . + anxn
超越方程： f (x) 含超越函数，如 si xk f(xk)符号
0 －
1 － ＋
2 － －
3 － ＋
4 － ＋
5 － －
6 － －
第三节 不动点迭代
定理
设 (x)C[a, b] 且可导，若
(2) 0 L < 1，使得 | ’(x) | L 对 x[a, b] 成立
则函数 f (x) = x - (x) 在 [a, b] 中有唯一的零点 x*。
(压缩映像定理，不动点定理)
x* 称为 (x) 的不动点
(x*) = x*
(1) a (x) b 对一切 x[a, b] 都成立
简证：
f(a) = a - (a) 0 , f(b) = b - (b) 0
f(x) 在[a, b] 上有零点。
唯一性：反证法，假设存在 x*, y*[a, b] 使得
x* = (x*)
y* = (y*)
矛盾！
(x) 的不动点
第三节 不动点迭代
f (x) = 0
x = (x)
等价变换
基本思想
从一个给定的初值 x0 出发，计算 x1 = (x0), x2 = (x1), …
若 收敛，即存在 x* 使得 ，则由 的连续性和 可得 x* = (x*)，即 x* 是 的不动点，也就是 f (x) 的零点。
具体做法：
不动点迭代
f (x) 的零点
几何含义：
求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点
xk+1 = (xk)
x
y
y = x
x
y
y = x
x
y
y = x
x
y
y = x
x*
x*
x*
x*
y= (x)
y= (x)
y= (x)
y=(x)
x0
p0
x1
p1
x0
p0
x1
p1
x0
p0
x1
p1
x0
p0
x1
p1
x2
举例
例：
已知方程 x3-6x2+9x-2=0 在 [3,4] 内有一根，考虑迭代
(1) x = 1(x) = x3-6x2+10x-2 ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
收敛性分析
定理
设 (x)C[a, b] 且可导，若
(2) 0 L < 1，使得 | ’(x) | L 对 x[a, b] 成立
(1) a (x) b 对一切 x[a, b] 都成立
则有
(a) 对任意 x0[a, b]，由 xk+1 = (xk) 产生的迭代序列
均收敛到 (x) 在 [a, b] 中的唯一不动点 x*。
(b) 有如下的误差估计
可用| x k+1-xk |
来控制收敛精度
L 越小收敛越快
证：
(a) 由压缩映像定理可知，不动点 x* 存在且唯一。
(b)
又
全局收敛与局部收敛
定理的条件保证了不动点迭代的全局收敛性。
即迭代的收敛性与初始点的选取无关。
这种在 x* 的邻域内具有的收敛性称为局部收敛性。
定理中的条件 | ’(x) | L < 1 可以适当放宽
(2’) ’(x) 在 x* 的某个邻域内连续，且 | ’(x*) | <1