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数一真题标准答案及解析超强版.docx

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数一真题标准答案及解析超强版


2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题
填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)

设函数f(x)连续且恒大于零,
,,
其中,
(1) 讨论F(t)在区间内的单调性.
(2) 证明当t>0时,
九 、(本题满分10分)
设矩阵,,,求B+2E的特征值与特征向量,其中为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
十 、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为


.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为
十一 、(本题满分10分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
(1) 乙箱中次品件数的数学期望;
(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二 、(本题满分8分)
设总体X的概率密度为

其中是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本,记
求总体X的分布函数F(x);
求统计量的分布函数;
如果用作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.
2003年考研数学一真题评注
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1) =.
【分析】 型未定式,化为指数函数或利用公式=进行计算求极限均可.
【详解1】 =,
而 ,故原式=
【详解2】 因为 ,
所以原式=
(2) 曲面与平面平行的切平面的方程是.
【分析】 待求平面的法矢量为,因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定.
【详解】 令 ,则
,, .
设切点坐标为,则切平面的法矢量为 ,其与已知平面平行,因此有

可解得 ,相应地有
故所求的切平面方程为
,即 .
(3) 设,则= 1 .
【分析】 将展开为余弦级数,其系数计算公式为.
【详解】 根据余弦级数的定义,有

=
=
=1.
【评注】 本题属基本题型,主要考查傅里叶级数的展开公式,本质上转化为定积分的计算.
(4)从的基到基的过渡矩阵为.
【分析】 n维向量空间中,从基到基的过渡矩阵P满足
[]=[]P,因此过渡矩阵P为:P=[[.
【详解】根据定义,从的基到基的过渡矩阵为
P=[[.
=
(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

则 .
【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概率,一般可转化为二重积分=进行计算.
【详解】 由题设,有

=
y

1

D

O 1 x

【评注】 本题属基本题型,但在计算二重积分时,应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分D,再在其上积分即可.
(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为的置信区间是 .
(注:标准正态分布函数值
【分析】 已知方差,对正态总体的数学期望进行估计,可根据,由确定临界值,进而确定相应的置信区间.
【详解】 由题设,,可见 于是查标准正态分布表知本题n=16, , 因此,根据 ,有
,即 ,故的置信度为的置信区间是 .
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数f(x)在内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有
一个极小值点和两个极大值点.
两个极小值点和一个极大值点.
两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]
y



O x

【分析】 答案与极值点个数有关,而可能的极值点应是导数为零或导数不

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