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数一真题标准答案及解析超强版
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题
填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
设函数f(x)连续且恒大于零，
，，
其中，
(1) 讨论F(t)在区间内的单调性.
(2) 证明当t>0时，
九 、（本题满分10分）
设矩阵，，，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.
十 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为
，
，
.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为
十一 、（本题满分10分）
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
(1) 乙箱中次品件数的数学期望；
(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二 、（本题满分8分）
设总体X的概率密度为
其中是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本，记
求总体X的分布函数F(x);
求统计量的分布函数；
如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.
2003年考研数学一真题评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1） =.
【分析】 型未定式，化为指数函数或利用公式=进行计算求极限均可.
【详解1】 =,
而 ，故原式=
【详解2】 因为 ，
所以原式=
（2） 曲面与平面平行的切平面的方程是.
【分析】 待求平面的法矢量为，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定.
【详解】 令 ，则
，， .
设切点坐标为，则切平面的法矢量为 ，其与已知平面平行，因此有
，
可解得 ，相应地有
故所求的切平面方程为
，即 .
（3） 设，则= 1 .
【分析】 将展开为余弦级数，其系数计算公式为.
【详解】 根据余弦级数的定义，有
=
=
=1.
【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.
（4）从的基到基的过渡矩阵为.
【分析】 n维向量空间中，从基到基的过渡矩阵P满足
[]=[]P，因此过渡矩阵P为：P=[[.
【详解】根据定义，从的基到基的过渡矩阵为
P=[[.
=
（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
则 .
【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率，一般可转化为二重积分=进行计算.
【详解】 由题设，有
=
y
1
D
O 1 x
【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分D，再在其上积分即可.
（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为的置信区间是 .
(注：标准正态分布函数值
【分析】 已知方差，对正态总体的数学期望进行估计，可根据，由确定临界值，进而确定相应的置信区间.
【详解】 由题设，，可见 于是查标准正态分布表知本题n=16, , 因此，根据 ，有
，即 ，故的置信度为的置信区间是 .
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有
一个极小值点和两个极大值点.
两个极小值点和一个极大值点.
两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]
y
O x
【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不