文档介绍:导数与函数的单调性课件
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复****引入:
问题1:怎样利用函数单调性的定义
来讨论其在定义域的单调性
1.一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意导数与函数的单调性课件
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复****引入:
问题1:怎样利用函数单调性的定义
来讨论其在定义域的单调性
1.一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,
(1)若f(x1)<f (x2),那么f(x)-x2与f(x1)-f(x2)同号,即
.
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(2)若f(x1)>f (x2),那么f(x)在这个区间
上是减函数
此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即
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(2)作差f(x1)-f(x2),并变形.
2.由定义证明函数的单调性的一般步骤:
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个
值,且x1< x2.
(3)判断差的符号(与0比较),从而得函数的单调性.
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例1:讨论函数y=x2-4x+3的单调性.
解:取x1<x2∈R,
f(x1)-f(x2)=(x12-4x1+3)-(x22-4x2+3)
=(x1+x2)(x1-x2)-4(x1-x2)
= (x1-x2)(x1+x2-4)
则当x1<x2<2时, x1+x2-4<0, f(x1)>f(x2),
那么 y=f(x)单调递减。
当2<x1<x2时, x1+x2-4>0, f(x1)<f(x2),
那么 y=f(x)单调递增。
综上 y=f(x)单调递增区间为(2,+∞)
y=f(x)单调递减区间为(-∞,2)。
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函数y=x2-4x+3的图象:
2
y
x
0
单增区间:(2,+∞).
单减区间:(-∞,2).
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那么如何求出下列函数的单调性呢?
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发现问题:用单调性定义讨论
函数单调性虽然可行,但十分
麻烦,尤其是在不知道函数图
=x3+2x2-
为简捷的方法呢?下面我们通
过函数的y=x2-4x+3图象来考
察单调性与导数有什么关系:
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这表明:导数的正、负与函数的单调性密
切相关
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2
y
x
0
.
.
.
.
.
.
.
再观察函数y=x2-4x+3的图象:
总结:该函数在区间
(-∞,2)上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间(2,+∞)上单增,切线斜率大于0,=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.
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结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0,
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.
如果f′(x)<0,
则f(x)为增函数;
则f(x)为减函数.
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例3:求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x
令6x2-12x>0,解得x<0或x>2,
则f(x)的单增区间为(-∞,0)和
(2,+∞).
再令6x2-12x<0,解得0<x<2,
则f(x)的单减区间(0,2).
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单
调性发生改变.
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例4、判定函数y=ex-x+1的单调区间.
解: f’(x) =ex-1
当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单增区间为(0,+∞).
当ex-1<0时,解得x<0.
即函数的单减区间为(-∞,0).
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总结:根据导数确定函数的单调性
(x)的定义域.