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最新2022考研数学冲刺模拟卷-答案与解析(数学一).doc

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文档介绍:Born to win
2022考研数学冲刺模拟卷〔数学一〕
答案与解析
一、选择题:1~8小题,每题4分,共32分,以下每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
〔1〕假设函数在处连续D〕
【答案】D.
【解析】设,那么

所以

所以正确答案为D
〔8〕设总体服从正态分布,,…,是取自总体的简单随机样本,其均值、方差分别为
Born to win
,.那么
〔A〕 〔B〕
〔C〕 〔D〕
【答案】C.
【解析】

而,且与相互独立
所以
所以正确答案为C.
二、填空题:9-14小题,每题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 函数的麦克劳林公式中项的系数为__________
【答案】.
【解析】因为,故项的系数为。
(10) 微分方程的通解为_________
【答案】,〔为任意常数〕.
Born to win
【解析】齐次特征方程为
故通解为,〔为任意常数〕
(11) 为某函数的全微分,那么__________.
【答案】.
【解析】由题意可得,,故.
(12) 幂级数在区间内的和函数________
【答案】.
【解析】
〔13〕设为四维非零的正交向量,且,那么的所有特征值为 .
【答案】0,0,0,0
【解析】设矩阵的特征值为,那么的特征值为
由为四维非零的正交向量
从而
所以的特征值的特征值为
所以4阶矩阵的4个特征值均为0.
〔14〕 设二维随机变量服从正态分布,那么 .
【答案】
【解析】

Born to win
所以相互独立相互独立,相互独立

同理
从而

三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.
〔15〕〔此题总分值10分〕设函数在内具有二阶导数,且满足等式
,假设求函数的表达式.
【解析】(I)由于题目是验证,只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了



同理
代入,得

Born to win
即 .
那么对应的特征方程为,,故.
由得,即
〔16〕〔此题总分值10分〕求
【答案】.
【解析】
原式=.
〔17〕〔此题总分值10分〕设函数连续,且.,求的值.
【解析】令,那么,所以代入


将等式两边对求导得

化简得
令得,,化简得


〔18〕〔此题总分值10分〕设是区间上的任一非负连续函数,在区间内可导,且试证明在内,存在唯一实根.
【解析】(1)要证,使;令,要证,使.可以对的原函数使用罗尔定理:
Born to win
,

又由在连续在连续,在连续,在可导.根据罗尔定理,,使.
(2) 由,知在内单调增,故(1)中的是唯一的.
〔19〕〔此题总分值10分〕计算曲面积分,其中是球面被平面截出的顶部。
【答案】
【解析】由题意可知,
故.
〔20〕〔此题总分值11分〕设均为四维列向量,,非齐次线性方程组的通解为
(Ⅰ)求方程组的通解;
(Ⅱ)求方程组的通解.
【解析】(Ⅰ)由 的通解为
可得,即
Born to win

所以可由线性表出,可由线性表出即可由线性表出
从而
所以方程组只有唯一解
②+2①得
所以程组的唯一解为;
由(Ⅰ)可得可由线性表出, 可由线性表出

从而
所以
所以齐次线性方程组的根底解系中有2个线性无关的解向量,非齐次线性房出租有无穷多解
由(Ⅰ)中的
Born to win


且线性无关
所以的根底解系为

可得的一个特解为
所以的通解为:
Born to win
.
〔21〕〔此题总分值11分〕设二次型的
矩阵合同于.
(Ⅰ)求常数;
(Ⅱ)用正交变换法化二次型为标准形.
【解析】(Ⅰ)此二次型对应的实对称矩阵
因为实对称矩阵与合同
所以
而,解得
(Ⅱ)
解得矩阵的特征值为
当时,解齐次线性方程组

Born to win
解得对应的一个线性无关的特征向量为
当时,解解齐次线性方程组

解得对应的一个线性无关的特征向量为
当时,解解齐次线性方程组

解得对应的一个线性无关的特征向量为
因为矩阵有三个不同的特征值,所以三个特征值对应的特征向量均正交
将单位化得
Born to win
从而正交变换矩阵在正交变换,使得.
〔22〕〔此题总分值11分〕将三封信随机地投入编号为的四个邮筒.记为1号邮

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