文档介绍：一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
可编辑可修改一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________姓名__________利用判别式
例分解 ,得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0
即得x1
1,x2
2
1
1a
∵x
是整数
∴1-a=
±1,±2,∴a=-1,0,2,3
由上可知符合条件的整数有
5个.
例6.(1994
年福州竞赛题)
当m
是什么整数时,关于x
的方程
x2
(m1)x
m
1
0的两根都是整数
解：设方程的两整数根分别是
x1，x2，由韦达定理得
x1
x2
m1
①
x1
x2
m1
②
由②
①消去m
，可得x1x2
x2
x12
(x1
1)(x2
1)
3
13
1(3)
一元二次方程整数根问题的十二种思维策略
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那么有
x1
1
1
或
x1
1
1
x2
1
3
x2
1
3
解得：
x1
2
或
x1
0
x2
4
x2
2
由此x1
x2
8或0，分别代入②，得m
7或m1
利用根与系数的关系
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可编辑可修改
例7.(1998
年全国竞赛题)求所有正实数
a,使得方程x2
ax4a
0仅
有整数根.
解：方程的两整数根分是
x1，x2
，且x1
x2
由根与系数的关系得
x1x2
a
0
①
x1x2
4a
0
②
由①得a
x2a⋯③
将③代入②得
4a
x1x2
x1a
4a
x1x2
x1
a
2
2
∴4 x1 8然x1≠4，故x1可取5，6，7，8。从而易得a=25，18，16。
构造新方程
例8.(1996年全国联赛)方程(xa)(x 8) 1 0有两个整数根,求a的
值.
解：原方程
(x8)2
(8
a)(x
8)1
0
y=x-8，得新方程
y2
(8
a)y
10
它的两根y1，y2，
y1
y2
a
8,y1y2
1
∵x是整数，∴y1，y2也是整数，
y1，y2
只能分
1，-1或-1，1
即y1+y2=0
∴a=8。
构造等式
例9.(2000
年全国联赛C卷)
求所有的正整数
a,b,c,使得关于x的方程
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x2
3ax2b0,x23bx
2c
0,x2
3cx2a
0所有的根都是正整数.
解：三个方程的正整数解分
x1,x2,x3,x4,x5,x6，有
x2
3ax
2b
(x
x)(x
x
)
1
2
x2
3bx
2c
(x
x3)(x
x4)
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可编辑可修改
x2
3cx
2a
(x
x5)(x
x6)
令x=1，并将三式相加，注意到
xi
≥1〔i=1，2，⋯6〕，有
3
(ab
c)
(1
x1)(1
x2)
(1x3)(1x4)(1x5)(1x6)
0000
但a≥1，b≥1，c≥1，又有3-〔a+b+c〕≤0，
∴3-〔a+b+c〕=0故a=b=c=1
分析等式
例10.(1993
年安徽竞赛题)
n为正整数，方程x2
(3
1)x3n60
有一