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小波分析基础.ppt

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文档介绍

文档介绍:小波分析基础
一、认识小波
1、预备知识
从数学的角度讲,小波是构造函数空间正交基的基本单元,是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数,这样认识小波需要L2(R) 空间的基础知识,特别是内积空间中空间分解、函换可定义为函数与小波基的内积:
将a,b离散化,令
可得离散小波变换:
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总结:小波即小区域的波,是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。它有两个特点:一是“小”,即在时域具有紧支集或近似紧支集;二是正负交替的“波动性”,也即支流分量为零。傅立叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加,同样小波分析是将信号分解为一系列小波函数的叠加,而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移和尺度伸缩得来的。
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小波分析优于傅立叶分析的地方是,它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。而且由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长,从而可以聚焦到对象的任何细节,所以被称为“数学显微镜”。小波分析广泛应用与信号处理、图像处理、语音识别等领域。
可以这样理解小波变换的含义:打个比喻,我们用镜头观察目标信号f (t), ψ(t)代表镜头所起的所用。b 相当于使镜头相对于目标平行移动,a的所用相当于镜头向目标推进或远离。由此可见,小波变换有以下特点:
多尺度/多分辨的特点,可以由粗及细地处理信号;
可以看成用基本频率特性为(ω)的带通滤波器在不同尺度a下对信号做滤波。
适当地选择小波,使ψ(t)在时域上为有限支撑,(ω)在频域上也比较集中,就可以使WT在时、频域都具有表征信号局部特征的能力。
小波变换的思想来源于伸缩和平移方法。
尺度伸缩
对波形的尺度伸缩就是在时间轴上对信号进行压缩和伸展,如图所示。
时间平移
时间平移就是指小波函数在时间轴上的波形平行移动,如图所示。
小波运算的基本步骤:
(1) 选择一个小波函数,并将这个小波与要分析的信号起始点对齐;
(2) 计算在这一时刻要分析的信号与小波函数的逼近程度,即计算小波变换系数C,C越大,就意味着此刻信号与所选择的小波函数波形越相近,如图所示。
(3) 将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间,然后重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C,直到覆盖完整个信号长度,如图所示;
(4) 将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位,然后重复步骤(1)、(2)、(3),如图所示;
(5) 对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
尺度与频率的关系
尺度与频率的关系如下:
小尺度a 压缩的小波快速变换的细节高频部分
大尺度a 拉伸的小波缓慢变换的粗部低频部分
三、多分辨分析
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
如何构造母小波呢?1989年,Mallat和Meyer提出了按多分辨分析的思想来构造母小波,其基本思想是:
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ,这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。
在V0子空间找一个函数g(t),其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的Riesz基。
对函数g(t)进行正交化,得到函数称为正交尺度函数(t)。
由(t)计算出小波函数(t)。
1、多分辨分析(MRA)的概念[5]
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Riesz基
定义 令H是Hilbert空间,H中的一个序列{gj}jZ是Riesz基,如果它满足以下的条件:
A和B分别称为Riesz基的上下界,Riesz基又称为稳定基。
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定义1 空间L2(R )中的多分辨分析是指L2(R )中的满足如下条件的一个子空间序列
多分辨空间的关系可用下图来形象地说明。
如果{g(t-k)}kZ是V0的Riesz基,可通过正交化得到V0空间的函数(t)V0,使得{(t-k)}kZ 构成V0空间的规范正交基。由伸缩性和平移不变性可知, {j,k(t)}j,kZ构成Vj空间的一个规范正交基。
于是
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注意: (t)并不是L2(R )空间的小波函数,而是与其紧密相关的尺度函数,{j,k(t)}j,kZ称为尺度基,多分辨空间序列{Vj}jZ称为尺度空间,在MRA意义下,可由尺度基导出小波基。
由MRA的单调性可以看出: Vj是Vj+1的严格子空间,设Wj是Vj关于Vj+1的正交补(子空间),即
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对于一幅图像,量化级数决定了图像的分辨率,量化级数越高,图像就越清晰,即图像的分辨率高。对于任意一幅图像,都可以用不同的量化空间来表