函数单调性的习题及答案.docx

文档介绍：一、选择题：
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是
（
）
A．y=2x＋1
B．y=3x2＋1
C．
，
,
2
三、解答题：：①在等式中令x
y0
，则f(1)=0．
②在等式中令x=36，y=6则f(
36)
f(36)
f(6),f(36)2f(6)2.
6
故原不等式为：
f(x
3)
f(
1)f(36),即f[x(x＋3)]
＜f(36)，又f(x)在(0，＋
x
∞)上为增函数，
x
3
0
故不等式等价于：
1
0
0x
153
3.
x
2
x(x3)36
剖析：f(x)在R上拥有单调性，且是单调减函数，证明以下：
设x1、x2∈(－∞，＋∞)，x1＜x2，则f(x1)=－x13＋1，f(x2)=－x23＋1．
(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋x2)2＋3x22］．
24
x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋x2)2＋3x22＞0，∴f(x1)＞f(x2)．
24
∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
：设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．
f(x1)－f(x2)=
1x12
－1x22=(1x12)(1x22)=
(x2
x1)(x2x1)
1x12
1x22
1x12
1x22
∵x2－x1＞0，
2
2
＞
，∴当
x
1＞
，
x
2
＞
0
时，
x
1＋
2＞，那么
1
＞
1x1
1x2
0
0
x
0
f(x)
(x2)．
当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．
故f(x)=1x2在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=1x2在区间［0，1］上是减
函数．
：任取x、x∈0，＋
且x＜x，则
1
2
1
2
f(x1)－f(x2)=
x12
1－
x22
1－a(x1－x2)=
2
x12
x22
2
－a(x1－x2)
x1
1
x2
1
=(x1－x2)(
x1
x2
－a)
2
2
x1
1
x2
1
(1)当≥1时，∵
x1
x2
＜1，