函数的单调性与求函数的最值.docx

文档介绍：复****br/>依据列表、描点、连线等步骤画出函数yx2的图像.
图像在

y

x2在[
1,0]的单调性.
在[1,0]
上任取x1,x2且x1<x2
则f(x1)
2
f(x2)
1x2
2
1x1,
进而f(x1)
f(x2)
1
x12
1x2
2
=
(1
x12)
(1
x22)=
x22x12
(x2x1)(x2x1)
1x12
1x22
1x12
1x22
1x12
1x22
∵x1
x2
∴x2
x1
0
别的，恒有
1
x12
1
x22
0
∵1≤x<x
≤0则x
+x<0
则f(x1)
f(x2)
0
f(x1)<f(x2)
1
2
1
2
∴在[
1，0]上f(x)为增函数
基本函数的单调性
例：议论函数
f(x)
x2
2
ax
3在(-2,2)
内的单调性.
解：∵f(x)
x2
2ax
3
(x-a)2
3
a2，对称轴xa
∴若
,
则
2
3在
a
2
f(x)
x
ax
(-2,2)
内是增函数；
2
若2
a
2
则
f(x)
x2
2ax
3在(-2,a)
内是减函数,在[a,2]
内是增函数
若a
2,则f(x)
x2
2ax
3在(-2,2)
内是减函数.
判断函数的单调性的常有结论
①设任意x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，那么
fx2
fx1
0?
f
( )
[
]
x在
a，b上是增函数；
fx2
fx1
0?
f
( )
在
[
]
x
a，b上是减函数．
②设任意x1，x2∈[a，b]
，那么
f
x2
f
x1
0
?
f
(
x
)在[
，]上是增函数；
x2
x1
ab
f
x2
f
x1
0?f(x)在[a，b]上是减函数．
x2
x1
③

(

x1－x2)[

f(x1)－f(x2)]

＞0?

f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[

f(x1)－f(x2)]

＜0?

f(x)在[a，b]上是减函数．
【梳理·总结】
（1）函数yf(x)与yf(x)的单调性相反；
（2）当函数y
1
与函数y
f(x)的单调性相反；
f(x)恒为正或恒有负时，y
f(x)
（3）函数y
f(x)与函数y
f(x)
C（C为常数）的单调性同样；
（4）当
C0
（
C
为常数）时，
y
f(x)
与
yCf(x)
的单调性同样；当
C0C
（
为常数）时，y
f(x)与y
C
f(x)的单调性相反；
（5）函数f(x)、g(x)都是增（减）函数，则
f(x)
g(x)仍是增（减）函数；
（6）若f(x)
0,g(x)
0且f(x)与g(x)都是增（减）函数，则
f(x)g(x)也是增
（减）函数；若f(x)
0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增（减）函数，则
f(x)
g(x)也是
减（增）函数；
（7）设f(x)0，若f(x)在定义域上是增函数，则nf(x)、kf(x)(k