文档介绍：《函数的极值与最值》经典题
x3
3x2，求f(x)的极值。
解：由题意得f
x
3x2
6x3xx
2
令f
x
0，解得x10
，x22
x变化时，f￠(x)、f(x)的变化状况调递减；当
1
x1
时，f(x)
0，f(x)
1
单调递加。因此
f(x)在x=1处获得极大值，于是
a
1吻合题意。
综上，实数a的值是a
1。
f(x)lnx
a
x
若a1，求f(x)的极值；
(2)
若a
1,求f(x)在[
1
,e2]上的最大值；
2
(3)
若f(x)在1,e上的最小值为3，求a的值.
2
(4)
若f(x)
x2
在(1,
)上恒成立，求a的取值范围.
1
解：(1)当a1时，f(x)lnx，则f(x)的定义域为(0,),x
1
1
x
1
f(x)
xx2
x2,令f(x)0得x1,
当0
x
1时,
f(x)
0,
f(x)单调递减；当
x
1时,f
(x)0,f(x)
以f(x)的极小值为
f(1)
1,无极大值。
(2)当a
1时，f(x)
lnx
1
，则f(x)的定义域为(0,
),
x
f(x)
1
1
x1
x
x
2
x
2
，
于是，当x在[1,e2]上变化时，的变化状况以下表：
2
1
(
1
,1)
1
(1,e2)
e2
2
2
0
↘
极小值1
↗
1
2
ln2
2
e2
由上表可得，当
x
2
2
1
e时函数f(x)获得最大值
2.
x
a
e
(3)f(x)
，x
1,e
x2
①若a
1
,则x
a
0
即f
(x)
0在1,e
上恒成立，此时f(x)在1,e上是增函数
∴f(x)min
f(1)
a
3
∴a
3
2
(舍去)
2
②若a
e,则x
a
0即f
(x)
0