文档介绍：§3 矩阵的最大秩分解
前面两节介绍了n阶矩阵的几种分解,现在开始介绍几种长方阵的分解。本节介绍矩阵的最大秩分解,它在广义逆矩阵的讨论中是十分重要的.
设是一个阶秩为r>0的复矩阵,记为
,如果存在矩阵和, 使得
()
则称式()为A的最大秩分解(满秩分解).
设,则必存在和
,使得
证当时,可通过初等行变换将A化为阶梯形矩阵B,即存在有限个m阶初等矩阵的乘积P,使得
, 或者
把改写为分块阵
则有
其中F是列满秩阵,G是行满秩阵.
(证毕)
这个定理的证明过程给出了求矩阵满秩分解的初等行变换法.
例:用初等行变换法求矩阵
的满秩分解.
解对进行初等行变换,当A变成阶梯阵B时,E就变成初等矩阵P.
.
故
最后有
求矩阵满秩分解的初等行变换法的缺点是必须求出
,下面介绍一个不需求出简便方法.
如果,并且满足条件:
(1) B的前r行中每一行至少有一个非零元素,且从左到右第一个非零元素等于1;
(2) B的后m-r行元素都等于零;
(3) B的第i行的第一个非零元素1位于第列,
;
(4) B的列为单位矩阵的前r列.
那么称B为行标准形.
称n阶矩阵
为置换矩阵,其中是单位矩阵的从左至右的n个列向量, 是的一个排列.
,
设的行标准形为B(), 令A的列构成的矩阵为F,
B的前r行构成的矩阵为G 则A的满秩分解为
.
证由条件知,存在m阶可逆矩阵P,使得
, 或者
,设的分块阵为
,可得最大秩分解.
.
,对应A的行标准形B,构造阶置换矩阵
,则有
再根据,得
上式表明F是AP1的前r列构成的矩阵,即F是A的
列构成的矩阵. 证毕.
,我们称为行标准形法.
例:用行标准形法求矩阵
的最大秩分解.
解用初等行变换将A化为行标准形
因此,这里,, A的前三列组成矩阵
而B的前三个非零行组成矩阵
于是, 的最大秩分解为